首先关于函数列处处收敛：对于一列函数列 {fn(x)}，当给定一x时（也就是让x取一个定值），则函数列fn(x)}，就变成了一个数列了。类如函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)，当给定x=2时，fn(x)=2^n(2的n次方)，，这就是一个数列了，当这个数列{2^n}收敛，就说函数列{fn(x)}在x=2收敛；当这个数列{2^n}不收敛，就说函数列{fn(x)}在x=2发散的。
对于函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)，当x=1时收敛；当x=2时发散。
2. 弄清上面了，函数列几乎处处收敛就很容易了。
函数列几乎处处收敛是指：使得函数列不收敛的所有点组成的集合的测度（Lebesgue测度）为0。
通俗的说就是不收敛的点不多，测度为0，可以忽略。除去不收敛点，剩下的点都是使得函数列收敛，所以说函数列“几乎处处”收敛（因为测度为0）。
3. 函数列的一致收敛：
首先看一下处处收敛的定义：对于一列函数列 {fn(x)}，当给定一x时（也就是让x取一个定值），则函数列fn(x)}，就变成了一个数列，当这个数列收敛于f（x），即对任意的ε>0，存在N>0(注意这个N与ε和给定的x有关)，使得当n>N时，有
|fn(x)-f(x)|<ε.
再次强调：定义中的这个N，是与ε和给定的x有关。对不同的x，给定ε，就会有不同的N。
一致收敛的定义是：对任意的ε>0，存在N>0(注意这个N只与ε有关)，使得当n>N时，对一切的x（当然是fn(x)定义域上的x）有
|fn(x)-f(x)|<ε.
定义中的这个N，只是与ε有关。对不同的x，给定ε，都能找到相同的N。
可以看到，处处收敛研究的是函数列在一点处的收敛性，因为给定误差ε，要找的N与ε和给定的x有关
而一致收敛研究的是函数列在定义域上的整体收敛性，因为给定误差ε，不管是什么样的x，函数列fn(x)都会随着n的增大而靠近f（x），可以这样想象，fn(x)代表的很多曲线，随着n的增大，趋近于曲线f(x).
上面的例子：函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)在区间[0,1]上处处收敛，在[0,1)上收敛到f(x)=0，在x=1处收敛到1.
但不是一致收敛的，问题出在x=1处附近的点。因为x=1处附近的点，当n增大时总是要靠近1的，所以fn(x)无法整体趋向于f(x)=0这个函数。
但是把x=1处附近的点去掉，只考虑区间[0,δ）（δ是小于1的任意正数），则函数列 fn(x)=x^n在区间[0,δ）一致收敛于f(x)=0。
4、依测度收敛
测度收敛与前面的几种收敛方式不一样，也叫概收敛，一般地可以这样定义：
定义： 设E是可测集，f(x)，f_1(x)，f_2(x)，f_3(x)，…都是E上几乎处处有限的可测函数，如果对于任意ε>0，都有
lim E{x||fn(x)-f(x)|>ε}=0
则称f_n(x)在E上依测度收敛到f(x)，记作 。
指的是使得fn(x) 和 f(x)不相等的点x做成的集合，随着n 的增大而其测度趋向于零。
总的来说，在区域有限和函数有限的情况下，收敛强度从弱到强依次是：依测度收敛，几乎处处收敛，处处收敛，一致收敛
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