230问答网 > 已知函数f(x)=(x-a) 2 (x-b)(a，b∈R，a＜b)，(1)当a=1，b=2时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程

已知函数f(x)=(x-a) 2 (x-b)(a，b∈R，a＜b)，(1)当a=1，b=2时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程

2025-02-01 14:47:14

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回答1：

解：(1)当a=1，b=2时，f(x)=(x-1)² (x-2)=x³ -4x² +5x-2，
所以f′(x)=3x² -8x+5，
故f′(2)=1，
又f(2)=0，
所以曲线y=f(x)在点(2，0)处的切线方程为y=x-2．
(2)因为f′(x)=3(x-a)(x- )，
由于a＜b，故a＜，
所以f(x)的两个极值点为x=a，x= ，
不妨设x₁ =a，，
因为x₃ ≠x₁ ，x₃ ≠x₂ ，且x₃ 是f(x)的一个零点，所以x₃ =b，
又因为，，
所以成等差数列，
所以存在实数x₄ 满足题意，且。