积分中值定理的推广形式

1、若f与g都在[a,b]上连续,且g在[a,b]上不变号,则至少存在一点c属于[a,b],使得f乘以g在[a,b]上的积分等于f(c)乘以g在[a,b]上的积分。

2、设函数f在[a,b]上可积.若g为单调函数,则存在一点c属于[a,b],使得(f乘以g)的积分等于g(a)乘以(f在[a,c]上的积分)加上g(b)乘以(f在[c,b]上的积分)。

扩展资料

积分中值定理其实是微分中值定理的推广，对变上限函数使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到积分中值定理甚至类似于泰勒定理的形式。

因此看到有积分形式，并且带有中值的证明题时，一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使用积分中值定理。

当证明结论中仅有积分与被积函数本身时，一般使用积分中值定理;当结论中有积分与被积函数的导数时，一般需要展开变上限积分为泰勒展开式。

参考资料来源：百度百科-积分中值定理

如果函数、在闭区间上可积，且在上不变号,f(x)连续， 则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立：
一、如果函数、在闭区间上可积，且为单调函数，则在积分区间上至少存在一个点,，使下式成立：

二、如果函数、在闭区间[a,b]上可积，且并是单调递减函数，则在积分区间上至少存在一个点， 使下式成立：

三、如果函数、在闭区间上可积，且并是单调递增函数，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立：

第一定理

如果函数  、  在闭区间[a,b]上连续，且  在  上不变号， 则在积分区间  上至少存在一个点  ，使下式成立：

第二定理

一、如果函数  、  在闭区间[a,b]上可积，且  为单调函数，则在积分区间 [a,b]上至少存在一个点  ，使下式成立：

二、如果函数  、  在闭区间[a,b]上可积，且  并是单调递减函数，则在积分区间[a,b] 上至少存在一个点  ， 使下式成立：

三、如果函数  、  在闭区间 [a,b] 上可积，且  并是单调递增函数，则在积分区间[a,b]  上至少存在一个点  ，使下式成立：

积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。

积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段。

在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

定理应用：求极限、问题应用、运用估计、不等式证明。