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已知abc=1 求证a^2+b^2+c^2<=a^3+b^3+c^3

2024-12-30 14:19:35

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回答1：

这个需要说明下a>0,b>0.c>0吧
否则原式肯定不成立

假设有前面的条件
利用排序不等式有
a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a
a^3+b^3+c^3>=a^2c+b^2a+c^2b
3(a^3+b^3+c^3)=a^2b+a^2c+a^3+b^2a+b^3+b^2c+c^2a+c^2b+c^3=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)>=(a^2+b^2+c^2)*3√(abc)=3(a^2+b^2+c^2)
即a^2+b^2+c^2<=a^3+b^3+c^3
等号当且仅当a=b=c=1时成立