美国的联邦法律允许各州公投独立吗？在南北战争的时候，南方诸州根据什么发起独立，具有合法性吗？

你的问题在史学界和法学界有争议性，大体解释一下：1787年5月，美国各州（当时为13个）代表在费城召开制宪会议，同年9月15日制宪会议通过《美利坚合众国宪法》。直到1789年，独立战争胜利后的6年，法定建国日的13年后，美国宪法的前一部分才被通过、美国政府才开始工作。凡是有该州代表在宪法上签过字的，该州就属于美国的一部分；但美国属于联邦制，意思就是每个州可以进行公投独立，这是符合美国宪法精神的。但是19世纪的南方各州独立是农场主和寡头政治家们发动起来的，一般不属于公投。

注：争议性就是，美国第一部宪法允许奴隶的存在，这是因为华盛顿等人为了争取南方诸州加入联邦做出的妥协，南方奴隶较多，北方种族歧视较少，直至现在也差不多这样。在1861年内战前，罗伯特领导的南方政府界认为奴隶不能参与公投（种族歧视），农场主和政治家完全可以代表南方宣布独立；而北方林肯政府不这样认为，他们认为应该举行全民公投（包括黑人），歧义在此发生，再加之南方棉花之争、墨西哥战争等等前期导火线，最终有关民权、维护宪法的美国内战开始了。
所以你上面问的合法性，不太好回答，现在争议也特别大。

资料起源：美国通史（上） [美] Willian J.Bennett 著 刘军等翻译 江西人民出版社

允许。。。宪法允许各州直接脱离联邦。如果联邦侵犯各州权利。