数学中“群”的概念和应用

在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。要具有成为群的资格，这个集合和运算必须满足一些被称为“群公理”的条件，也就是结合律、单位元和逆元。尽管这些对于很多数学结构比如数系统都是很熟悉的，例如整数配备上加法运算就形成一个群，但将群公理的公式从具体的群和其运算中抽象出来，就使得人们可以用灵活的方式来处理有着非常不同的数学起源的实体，而同时在抽象代数之上保留很多对象的本质结构体貌。群在数学内外各个领域中是无处不在的，使得它们成为当代数学的中心组织原理。[1][2]
群与对称概念共有基础根源。对称群把几何物体的对称特征定为：它由保持物体不变的变换的集合，和通过把两个这种变换先后进行来组合它们的运算构成。这种对称群，特别是连续李群，在很多学术学科中扮演重要角色。例如，矩阵群可以用来理解在狭义相对论底层的基本物理定律和在分子化学中的对称现象。
群的概念引发自多项式方程的研究，由埃瓦里斯特•伽罗瓦在 1830 年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何的贡献之后，群概念在 1870 年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。 为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和单群。除了它们的抽象性质，群理论家还从理论和计算两种角度来研究具体表示群的各种方式(群表示)。对有限群已经发展出了特别丰富的理论，这在1983年完成的有限简单群分类中达到顶峰。

多项式的对称
假设 是未知数， 是 的二次方程， ,它的两个根 有如下关系：
，
和 都有这样的性质：把 和 对换，结果仍然不变，因为
，
凡是有这样性质的 和 的多项式叫做对称多项式。
例如， , 也是对称多项式，但是 就不是对称多项式。并且我们习惯上把 和 叫做初等对称多项式。
我们来看一般情况，设n∈Z+, a0，a1，……an∈C,a0≠0设现在有一元n次多项式方程：

著名的代数基本定理告诉我们，这样的方程有n个根，假设为 ，那么：

和二次的情形相仿，韦达定理给出：

像如上左边各式：

等这样的多项式，不论我们对 ，作怎样的排列，都是不会变的。也就是说我们把 ， 是一个n排列,那么以上的式子是不会变的。这样的式子我们称为 的对称多项式，并且以上的几个对称多项式为初等对称多项式。
定义6：设 是C上的一个n元多项式，如果对这n个文字 的指数集{1，2，…n}施行任一个置换后， 都不改变，那么就称 是C上一个n元对称多项式。
例如: 是对称多项式，
而 就不是，
如果把：1→2，2→3，3→1
那么
初等对称多项式的重要性在于
定理（对称多项式基本定理）：
每一个n元对称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式的多项式。
现在我们用群的语言去描述n元多项式的对称性。
令 ,Sn是M的变换群，即前面提到的n次对称群。如果我们略去字母 而只记下标，这时Sn中的元素可以记为：
是一个n排列。
令F 记数域F上n元多项式的全体。对 ,利用 可以定义F 到F 的一个映射，

那么 是集合F 的一个一一变换。为什么？

令 Tn中
那么（Tn，o）满足 ，称之为F 的置换群。
如果把n元多项式和平面图形类比，把F 和平面类比，则F 的置换群相当于平面的运动群，（平面的所有保距变换）。

即所有不变 的那些 ，那么我们 满足性质 ,称之为n 元多项式 的对称群。
例1： ，那么 ，即四次对称群是 的对称群。
例2：

例3：
——Klein 4元群
例4： 单位元群
例5：
是3阶循环解。
定义 ： 的一个多项式 称为对称多项式，如果 。即对称群是整个置换群。
就这样我们用群来刻划了多项式的对称。
如何去构造对称多项式，可见《近世代数》P55。
四、数域的对称
数域的概念在大学一年级高等代数中就讲过了。
一个非空数集F，至少含有一个非零的数，如果F对＋，－，×，÷封闭，那么F称为一个数域。
Q，R，C都是数域，最小的数域是Q，
也是一个数域。
平面图形是一个几何结构，即是把一个点集M（图形由点组成）连同此点集M中任意两点间的距离作为一个整体来考虑，而其对称群就是M的保持其任两点间的距离不变的变换的全体，这些保持M的几何结构（即距离）的变换的全体，就刻画了几何结构的对称。
完全类似地，数域F是一个代数结构，也就是把一个数集F连同此数集F中加、减、乘、除的运算作为一个整体一起来考虑。
所以数域F的对称也同样地可以用F的保持代数结构（即运算）的变换的全体来刻画。
定义7数域F的自同构 是指：
（1） 是F的一个一一变换
（2）
定理1若 是F的自同构，那么 有以下系列的性质：
（1）
（2） ；
（3）
（4） .
和我们前面讨论平面有限图形K的对称一样两个对称变换的乘积仍是K的一个对称变换，类似地我们有：
性质1设 和 是数域F的两个自同构，那么 和 也是F的一个自同构.
性质2令Aut（F）表示F的所有自同构的全体，令o表示变换的乘法，则（Aut(F),o）满足G1)—G4)。
定义8 称（Aut(F),o）为数域F的自同构群。
我们可以这样来类比：数域F的自同构群相当于图形K的对称群，后者刻画了图形K的对称，前者则刻画了数域的“对称”，——它是图形对称在数域上的一个类比概念。
定理2有理数域 的自同构群只有一个元素——恒等自同构I。
由此可知，若任意数域F，F ，且 ，那么 。即 ， 限制在 上是恒等变换。
例1令 是一个数域，是把 添加到 做成的代数扩域。考察F的自同构群。
设
，
由定理1知， ，
故 ，变换的结果取决于
令 最多只有2个数值 和 ，故F的自同构群只有

可以验证I、 确为F上的自同构。

o I φ
I I φ
φ φ I

这是一个2元循环群， ，
同构于 ，即 的对称群。
例2令
这也是一个数域。设 ，同上例， 的作用决定于 和 ，知 和 只有4种组合方式。故Aut(E)只有4个元素

o I φ1 φ2 φ12
I I φ1 φ2 φ12
φ1 φ1 I φ12 φ2
φ2 φ2 φ12 I φ1
φ12 φ12 φ2 φ1 I

o (1) (12) (34) (12)(34)
(1) (1) (12) (34) (12)(34)
(12) (12) (1) (12)(34) (34)
(34) (34) (12)(34) (1) (12)
(12)(34) (12)(34) (34) (12) (1)

Aut(E)与Klein 4元群同构 :
，
即 的对称群。
我们把上面说的推广到一般情况，
定义9给定两个数域F和E，如果F E，则称F是E的子域，而称E为F的扩域。令

即 是使得F中元素不动的E的自同构，Aut(E:F)就是由所有这样的 组成。
F就相当于平面图形的对称中的对称轴或是旋转中心。
命题（Aut(E:F)，o）满足 ，称为数域E在F上的对称群。
例3

和 都不能使到a+b 保持不变。
设 ， 为n次多项式，n个根为 ， 在F上的分裂域为E， ，那么称（Aut(E:F)，o）为F上多项式 的根的对称群，也称为F上一元多项式 的Galois群。这个群在解决五次以上多项式方程不可能有根式解的问题上起了关键作用。
五、关于“对称与群”的教学
（1） 认识运算的广泛性，不只是数可以运算，其他的一些数学对象也可以运算，并且满足一些数的运算所具有的性质。
（2） 乘法不一定是可以交换的。
（3） 代数结构的概念：一个集合，加上这个集合中的运算，构成一个代数系统，其结构体现在运算关系上。
（4） 群的概念：对称群是一个具体的群。满足G1)—G4)，就称为群。
（5） 数学语言是刻画自然现象的一个极好工具，数学是模式的研究。数学来源于实际问题。