曲面积分计算问题(高斯定理的利用)

2024-12-16 00:14:21
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回答1:

高斯公式要求封闭的曲面,所以在下面补了一个面,然后再减去,最后用柱面坐标积分,我是这么想的~~~
I=+∫ ∫∫(6x^2+6y^2+6z)dv- ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx-3dxdy

=∫【0,2π】d0∫【0,1】dr∫[0,(1-r^2)](6r^2+6z)dz-∫∫3dxdy
=24π/5-6π=-6π/5

而∑表示的是一个抛物面,在dxdy上的投影是一个圆形面积为2π

回答2:

用高斯定律得
I=∫∫∫(6x^2+6y^2+6z)dv=∫∫∫6dv=6v,v是曲面与z=0所围成的体积
曲面是个圆抛物面
v=∫πr^2dz 积分区间是[0,1]
r^2=x^2+y^2=1-z
v=π∫1-zdz=π(z-z^2/2)=π/2
I=6v=3π