高等数学多元函数求极值题目

【方法一】

作拉格朗日函数F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2−z)+μ(x+y+z−4).

首先，求解其驻点。

令⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪F′x=2x+2λx+μ=0F′y=2y+2λy+μ=0F′z=2z−λ+μ=0F′λ=x2+y2−z=0F′μ=x+y+z−4=0，

求解方程组可得，(x1,y1,z1)=(1,1,2)，(x2,y2,z2)=(−2,−2,8).

因为u(x1,y1,z1)=6，u(x2,y2,z2)=72，

故所求的最大值为72，最小值为6.

【方法二】注意到约束条件x+y+z=4，即z=4−(x+y)，故可将原问题转化为：

求函数u=x2+y2+x4+2x2y2+y4在约束条件x+y+x2+y2=4下的最值

设F(x,y,λ)=x2+y2+x4+2x2y2+y4+λ(x+y+x2+y2−4)，

令⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪F′x=4x3+4xy2+2x+λ(1+2x)=0F′y=4y3+4x2y+2y+λ(1+2y)=0F′z=x+y+x2+y2−4=0，

解得，(x1,y1)=(1,1)，(x2,y2)=(−2,−2)，

代入z=x2+y2，得z1，=2，z2=8.

因为u(x1,y1,z1)=6，u(x2,y2,z2)=72，

故所求的最大值为72，最小值为6.

如图。