几道数学竞赛题，高手进啊，高分悬赏！！！

1)解a=2b+4
代入ab+(c^2)-1=0得
2（b+1)^2+c^2=3
又因为都是整数
c²≥0 ； (b+1)^2≥0
所以c=1或－1
b=0 ，a=4
或b=-2，a=0
a+b+c=5 或a+b+c=3
或a+b+c=-1 或a+b+c=-3

2）y=x^2+(3-mt)x-3mt的图像与x轴的两个交点为（-3，0）和（mt，0）
两点间距离d=丨mt+3丨
据题意丨mt+3丨≥丨2t+n丨
两边平方，整理得：（m²-4）t²+（6m-4n）t+（9-n²）≥0
因为m≠2
所以m²-4＞0，即m＞2
要使这个不等式恒成立，则，△≤0，即在x轴上面
△=（6m-4n）²-4（m²-4）（9-n²）小于等于0
(mn-6)^2=<0
而m、n为正整数,
故只能(mn-6)^2=0
即mn=6
又m大于2
所以{m=6,n=1} 或{m=3,n=2}
这两组解都符合m、n为正整数,且m不等于2的条件.

3）x^3+(a+17)x^2+(38-a)x-56=0的根都是整数，所以根是56的约数
56=2³*7
可将其分解成（x+m）（x+n）（x+p）=0
又因为a是正整数，所以a+17＞17。
所以有两个根之和必定大于17，则说明必有一个根是≥9的（抽屉原理）
且两个根之和-两一个根大于17
56的约数中比9大的有14,28和56
如果是14，则另两个约数为1和4或2和2，与且两个根之和-两一个根大于17不符
如果是28，则另两个约数为1和2
（I）等式可表示为（x+28）（x+2）（x-1）=0
整理得：x³+29x²+26x-56=0
比较得a=12
（II）等式可表示为（x+28）（x-2）（x+1）=0
整理得：x³+27x²-30x-56=0
不成立
如果是56，则另两个约数为1和1，则等式可表示为（x+56）（x+1）（x-1）=0
整理得：x³+56x²-x-56=0 比较可得a=39
综述：a=12，此时方程的根为-28，-2和1
a=39，此时方程的根为-56，-1，1

4）因为一直整系数二次方程有整数根，所以△=4p²-4（p²-5p-1）=4（5p+1）为完全平方，从而5p+1为完全平方。
令5p+1=n²，注意到p≥2，故n≥4，且n为整数
于是5p=（n+1）（n-1）
则n+1、n-1中至少有一个是5的倍数，即n=5k±1（k为正整数）
因此：5p+1=25k²±10k+1，
p=k（5k±2）
由p为质数，5k±2＞1，知k=1，p=3或7
当p=3时，已知方程变成x²-6x-7=0，解得x=-1或者7
当p=7时，已知方程变为x²-14x+13=0，解得x=1或者13
综述：p=3或7

5）由m^2+25n^2=10mn+7(m+n)
得（m-5n）²=7（m+n），
所以（m-5n）²是7的倍数，
令m＞5n，则m-5n是7的倍数，
设m-5n=7k，则有（7k）²=7(m+n)
所以m+n=7k²
由m-5n=7k得m=7k+5n，代入上式得，7k+5n+n=7K²
所以n=（7k²-7k）/6=7k（K-1）/6，
令k=6t, 则n=42t²-7t
所以m=7k+5n=42t+5（42t²-7t）=210t²+7t
当t为任意正整数值时，m和n都是正整数，且每一个t值都有一组m和n的值，
因为t有无数整数值，所以m和n有无数组整数解。

记得加分哦！做的好辛苦啊，打字也打得很辛苦

1，3,5,-1,-3。四个答案
ab+c^2-1=0,c^2=1-ab
a-2b=4,a=4+2b，这个带到上面个事式子有，c^2=1-4b-2b^2=-2(b+1)^2+3，c是整数，所以由此可见c=正负1，若c=0，则b不是整数所以舍去。然后也就得出b=0或者-2。然后得出来a，不写过程了。

2,用求值公式，不好打。反正根号下面正好是一个平方。
两点距离=（mt-3+丨3+mt丨-mt+3-丨3+mt丨）/2>=丨2t+n丨
有丨3+mt丨>=丨2t+n丨

3,x^3+(a+17)x^2+(38-a)x-56=f(x)，其中f(0)=-56，所以如果因式分解必有（x-8）（x+7）或（x-7）（x+8）一部。所以x=8或x=7，是一个解(此题正好两个都是)。带回，a=-33。然后得出3个解分别是7，1，8

4,p为质数，p=2n-1，n是自然数
原式=0=（x-2n+1）^2-10n+4
现在问题转别为10n-4是一个平方数。
10n-4=2*2*(5n/2-1)
n=2,4,20,
所以p=3，7，39

5，等会写哦