初三数学竞赛题

一、19a^2+99a+1=0--（1）
b^2+99b+19=0--（2）
（2）可化为1+99/b+19/b^2=0
所以19*(1/b)^2+99*(1/b)+1=0--（3）
所以（1）和（3）为方程19x^2+99x+1=0,其中a,1/b为方程的两根。
所以利用韦达定理可知，a*1/b=a/b=1/19, a+1/b=-99/19
所以（ab+4a+1）/b=(a+1/b)+4*(a/b)=-99/19+4*1/19=-95/19=-5
二、 题目怪怪的，是不是打错了。若题目为1/a+1/b=1/(a-b)
所以（a+b）/ab=1/(a-b)
所以b^2+ab-a^2=0.
所以b=[(根号5-1)/2]a,或b=[(-根号5-1)/2]a（舍去）
所以b/a=(根号5-1)/2.
三、1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)
所以1/a+1/b=1/(a+b+c)-1/c.
所以(a+b)/ab=(c-a-b-c)/[c(a+b+c)].
所以(a+b)/ab=-(a+b)/[c(a+b+c)].
所以a+b=0或ab=-ac-ba-c^2.
当a+b=0时,a=-b不等于0，原方程化为1/c=1/c,c不等于0
所以a=-b不等于0，c不等于0时存在实数a,b,c满足题目。
当ab=-ac-ba-c^2s时,所以ab+ac+bc+c^2=0.
所以（a+c）(b+c)=0.
所以a=-c或b=-c
所以a=-c不等于0，b不等于0时存在实数a,b,c满足题目,
或所以b=-c不等于0，a不等于0时存在实数a,b,c满足题目。
综上所述a=-b不等于0，c不等于0或a=-c不等于0，b不等于0或b=-c不等于
0，a不等于0时存在。
四、假设 根号5是有理数，
设 根号5=p/q,
其中，p,q是正的自然数且互质。
则由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除，所以p也能被5 整除（反证法可以证得：如果p不能被5整
除,则p^2也不能被5整除，得证）
设p=5*n(n是正的自然数)
则5q^2=p^2=25n^2
这样 q^2也能被5整除，q也能被5整除
因此p与q有公因子5。
这与p,q互质相矛盾
从而 证明了根号5为无理数。
完成！！！

第一题中两个方程的系数都是一样的，其实a和1/b正好是方程一的两个不同实数根，由韦达定理（根与系数的关系）知道a+1/b=-99/19 , a*1/b=a/b=1/b 所以
（ab+4a+1）/b=a+1/b+4a/b=-95/19=-5

第二题有误，改为“是否存在实数a,b都是负实数，且a分之一加b分之一等于a-b分之一，求a分之b的值”有如下解法
由1/a+1/b=1/(a-b) 有
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^{2}-b^{2}=ab&space;\Rightarrow&space;\&space;(\frac{a}{b})^{2}-(\frac{a}{b})-1=0&space;\because&space;\frac{a}{b}>0&space;\therefore&space;\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
[\img]