已知a.b.c为正数，且a3+b3+C3=3abc.求证a=b=c

a^3+b^3+c^3=3abc
a^3+b^3+c^3-3abc=0
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
∵a>0,b>0,c>0
∴a+b+c≠0
∴a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
∴[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2=0
∴a=b=c

2(a^3+b^3+C^3)=6abc
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3+c^3=(a+c)(a^2-ac+c^2)
b^3+c^3=(b+c)(b^2-bc+c^2)
由基本不等式，
a^2+b^2>=2ab
a^2+c^2>=2ac
b^2+c^2>=2bc
当且仅当a=b=c时取等号
【(a-b)^2=0 a^2+b^2=2ab 其余同理】

原式等于
(a+b)2ab+(a+c)2ac+(b+c)2bc>=6abc
=2a^2b+2ab^2+2a^2c+2ac^2+2b^2c+2bc^2>=6abc
分组
=(2a^2b+2bc^2)+(2ab^2+2ac^2)+(2b^2c+2a^2c)>=6abc

再用基本不等式得>=6abc
当且仅当a=b=c时取等号

均值不等式a3+b3+C3>=3abc,等号只在a=b=c成立

证明：a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc
=0.5(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)+3abc
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+3abc=3abc
因为a,b,c为正数 所以a+b+c＞0
所以(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
因为平方具有非负性
所以(a-b)^2=0 (b-c)^2=0 (c-a)^2=0
所以a=b b=c c=a
所以a=b=c