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已知数列{an}的首项a1=3⼀5,an+1=3an⼀（2an+1,） n=1,2,…. ,求{an}的通项公式

2024-11-23 00:36:26

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回答1：

∵an=3^n/(3^n+2)=1-2/(3^n+2)>1-2/3^n
∴a1+a2+……+an
=a1+(a2+……+an)
>3/5+(n-1)-2/9(1-1/3^(n-1))/(1-1/3)
=n-1+4/15+1/3^n
∵n^2/(n+1)=(n^2+n-n)/(n+1)=n-n/(n+1)
=n-1+1/(n+1)
∵当n=1时
4/15+1/3^n=4/15+1/3=9/15
1/(n+1)=1/2<9/15
当n=2时
4/15+1/3^n=4/15+1/9=17/45
1/(n+1)=1/3<17/45
当n>=3时
4/15+1/3^n>4/15
1/(n+1)<=1/4<4/15
∴4/15+1/3^n>1/(n+1)
∴a1+a2+……+an>^2/(n+1)