初三数学竞赛题

如图，取AC的中点E，连结OE、BE． ∵在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线， ∴OE＝1/2AC＝1，CE＝1/2AC＝1，则BE＝√2 若点O、E、B不在一条直线上，则OB＜OE＋BE＝1＋√2 若点O、E、B在一条直线上，则OB＝OE＋BE＝1＋√2 所以，当O、E、B三点在一条直线上时，OB取得最大值，点B到原点的距离最大，最大值为1＋√2 图:

设AC的中点为M，连接OM、MB，则
在Rt△MCB中，由勾股定理可求得MB=√2
在Rt△AOC中，由直角三角形的性质得OM=AC/2=1
在△MOB中，由三角形的两边之和大于第三边得OB≤OM+MB=1+√2 (只有当O、M、B三点在一条直线上时，等号成立)。
所以原点O到点B的距离的最大值为1+√2，此时O、B以及AC的中点，三点在一条直线上

当三角形ABO为直角三角形 ，并且BO为斜边是最长
也就是BA垂直X轴
AB^2=AC^2+BC^2 AB=根号5
AO^2=AC^2-CO^2
BO=根号（AB^2+AO^2）
过B做BM垂直于Y轴。设CM=X BM=Y
X^2+Y^2=1;
(AB-X)^2+Y^2=4;得到 Y^2=4/5
所以BO=根号（5+4/5）=5分之29根号5

设AC中点是M。则OB<=OM+MB=1+√2
当O B M 三点共线时OB取到最大值1+√2

将ABC三点固定不动，则O可看作在以AC为直径的半圆上动，B到其最大距离为B到AC中点（即圆心）距离加上圆半径，即1+根下2