x+x⼀(1+2)+x⼀(1+2+3)+x⼀(1+2+3+4)+......+x⼀(1+2+3+4......+2009)=2009

第n项的分母，为：
1+2+3+。。。+n
=（1+n)n/2
第n项变形以后，为：
x/[(1+n)n/2]
=2x/[n(n+1)]
=2x[1/n-1/(n+1)]

原式
=2x[(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/2009-1/2010)]
=2x(1-1/2010)
=2x*2009/2010=2009
2x/2010=1
x=1005

这道题应用数列的思想，写比较麻烦。
首先，要设数列的通项公式为An。
然后我们把加号前后的看成每一项，所以An=x/(1+2+...2009)
=x/n(n+1)/2
=2x/n(n+1)
=2x(1/n-1/n+1)
每一项才开来看就是列项相消了，每一项的后一个和后一项的前一半抵消，最后剩下的是：
2x(1-1/2010)=2009
解得x=1005

分子是一个等差数列的和，由等差数列的求和公式可知1+2+....+n=n(n+1)/2
其和的倒数就是2/n(n+1)也可以化为2（1/n-1/(n+1))
所以就可以对原来的方程进行变换可得：
2x(1-1/2+1/2-1/3+.....+1/2009-1/2010)=2009
解得X=1005

1+2+3+…n=n(n+1)/2，原式＝2x(1/(1*2)+1(2*3)+1/(3*4)……+1/(2009*2010)=2x(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4……+1/2009-1/2010)=2x(1-1/2010)=2009x/1005=2009，所以x=1005