解答：证明：设f（x）在点x0处取得极小值，即f（x0）=-1，则f′（x0）=0
由题意，f（x）在[0，x0]和[x0，1]都满足拉格朗日中值定理的条件
∴分别至少存在点ξ1∈（0，x0）和ξ2∈（x0，1），使得
＝f′(ξ1)，f(x0)?f(0) x0
＝f′(ξ2)f(1)?f(x0) 1?x0
而f（0）=f（1）=0
∴f′(ξ1)＝?
，f′(ξ2)＝1 x0
1 1?x0
又由f（x）在[0，1]上二阶可导
∴f′（x）在[ξ1，ξ2]上也满足拉格朗日中值定理
即至少存在点ξ∈（ξ1，ξ2）?（0，1），使得
＝f″(ξ)f′(ξ2)?f′(ξ1)
ξ2?ξ1
∴f″(ξ)＝
?1
x0(1?x0)
1
ξ2?ξ1
而x0(1?x0)＝?(x0?
)2+1 2
≤1 4
1 4
ξ2-ξ1≤
1 2
∴f″（ξ）≥4?2=8
得证
为什么ξ2-ξ1＜1/2
内容全部来源于网络收集，如有侵权，请联系网站删除：QQ：24596024