∫xsinxdx
=-∫xd(cosx)
=-xcosx+∫cosxdx (应用分部积分法)
=-xcosx+sinx+C (C是积分常数)。
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。
参考资料：百度百科-分部积分法
这个是最基础的分部积分，一定要熟练掌握。
基础知识
举个例子，你再体会一下，希望你能独立完成这道题。
简单计算一下，答案如图所示
可以利用不定积分的部分积分法：（它是与函数乘积的微分法则对应的积分方法）
∫udv=uv-∫vdu
此题中u=x，dv=sinxdx=d（-cosx），即v=-cosx
带入公式中，=∫xd（-cosx）=x（-cosx）-∫-cosxdx=-xcosx+sinx
∫xsinxdx=-∫xdcosx
=-xcosx+∫cosxdx
=-xcosx+sinx+c
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