230问答网 > 已知：在△ABC中AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，求证：DE>BC。

已知：在△ABC中AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，求证：DE>BC。

2024-12-31 23:38:08

推荐回答（3个）

回答1：

延长AB到F, 使BF=CE.
连接EF,并在AC上找一点G,作DG//EF
因为AB=AC,BF=CE.那么四边形DGEF就是等腰梯形，
因为DE是等腰梯形的对角线， BC是他的中线
所以DE>BC

回答2：

根据三角形三边关系a²=b²+c²-2bc*cosA有
BC²=(AD+DB)²+AC²-2(AD+DB)*AC*cosA
DE²=AD²+(AC+CE)²-2AD*(AC+CE)cosA

DE²-BC²=2CE(AC-ADcosA)-2BD(AD-ACcosA)
=2CE(AC-AD)(1+cosA)>0
所以DE>BC

回答3：

以BC、BD为邻边作平行四边形BCFD。
∵BCFD是平行四边形，∴DF＝BC、BD＝CF、∠DFC＝∠ABC。
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∠ACB＞∠CED，∴∠ABC＞∠CED，而∠DFC＝∠ABC，
∴∠DFC＞∠CED。
∵BD＝CE，又BD＝CF，∴CE＝CF，∴∠CFE＝∠CEF，又∠DFG＞∠CED，
∴∠CFE＋∠DFC＞∠CEF＋∠CED，∴∠DFE＞∠DEF，∴DE＞DF，而DE＝BC，∴DE＞BC。