(1):y`=-x²+4ax-3a²,令y`=0
→x1=a,x2=3a
→当a
所以:x=a,f(a)是最大值,得:
f(a)=1-4a³/3
(2):-a≤f`(x)≤a
→f`(x)≤|a|
→f`(x)≤a
→-x²+4ax-3a²-a≤0
→△≤0
→16a²≤4(3a²+a)
→0≤a≤1(第二问与前面的a的取值范围有关?这比较不确定,你题目应该是不是原题)
解:(Ⅰ)f′(x)=-x2+4ax-3a2,且0<a<1,(1分)
当f′(x)>0时,得a<x<3a;
当f′(x)<0时,得x<a或x>3a;
∴f(x)的单调递增区间为(a,3a);
f(x)的单调递减区间为(-∞,a)和(3a,+∞).(5分)
故当x=3a时,f(x)有极大值,其极大值为f(3a)=1.(6分)
(Ⅱ)f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-2a)2+a2,
ⅰ)当2a≤1-a时,即0<a≤
13
时,f′(x)在区间[1-a,1+a]内单调递减.
∴[f′(x)]max=f′(1-a)=-8a2+6a-1,[f′(x)]min=f′(1+a)=2a-1.
∵-a≤f′(x)≤a,∴
-8a2+6a-1≤a2a-1≥-a
∴
a∈Ra≥13
∴a≥
13
.
此时,a=
13
.(9分)
ⅱ)当2a>1-a,且2a<a+1时,即
13
<a<1,[f′(x)]max=f′(2a)=a2.
∵-a≤f′(x)≤a,∴
f′(1+a)≥-af′(1-a)≥-af′(2a)≤a
即
2a-1≥-a-8a2+6a-1≥-aa2≤a
∴
a≥137-1716≤a≤7+17160≤a≤1.
∴
13
≤a≤
7+1716
.
此时,
13
<a≤
7+1716
.(12分)
ⅲ)当2a≥1+a时,得a≥1与已知0<a<1矛盾.(13分)
综上所述,实数a的取值范围为[
13
,
7+1716
].(14分)