小学奥数 排列组合问题 8人站队

为了叙述方便，先简化题目的描述：
8个数排序，2必须在1和3中间，4和5不能相邻，6和7必须相邻，8没有提到，位置随意。

采取插入法排序：

先假设一个空队列，然后把数字一个一个插入。

先看123，2必须在1和3中间，那么这3个数字相对位置只能是123或者321，于是有2种排法。
这个队列看上去是"_*_*_*_",其中"*"是已经插入的数字，"_"是可以插入数字的位置。

再看8，位置可以随意插入到123中间或者头尾的任何一个位置，于是它可以插入到已经存在的队列的4个"_"位置中的任何一个。
新的队列是"_*_*_*_*_"。

再看6和7，因为他们必须相邻，所以可以把他们当作一个单位插入，有5个位置可以选择，又因为67可以交换位置变成76，所以每个位置之后实际上产生两种排法。一共就是10种。
新的队列是"_*_*_*_*_*_"。其中有一个*是67靠在一起。

再看4和5，先插入4，有6个位置可以选择，分别是队列中的每一个"_"，再插入7，此时7不能插入6的所在的那个"_"位置，只能插入到其他的"_"中，于是只有5个位置可以选择。两个数字一共是6*5=30种插入方法。

最后，把以上各步骤的选择可能的数目全部相乘，一共就是2*4*10*30=2400种站法。

（2×7×6×5×4×3×2×1-2×2×6×5×4×3×2×1）×2/6=2400
把小光和小亮作为一个整体排，这样开始全部排列方式为2×7×6×5×4×3×2×1=10080种排法
减去小惠和小智相邻（作为一个整体）的排法2×2×6×5×4×3×2×1=2880种排法
因为冬冬必须站在小悦和阿奇的中间，如果没有限制则这三个人排法为6种，现在有限制则为2种，所以前面两种排法相减结果×2/6
最后等于2400种排法

冬冬先站
悦
阿奇
别站
冬冬
前面或
面
两
位置
互换
2种站
第三步站第8
设名字
X
前已站3
X
共
4
位置
站
第四步
光
亮必须相邻
两
作
整体
前已经站
4
两
5
位置
站
光
亮
互换位置
两种站
站
惠
智
前已经站
6
两
必须并列
第7
6
位置
站
第8
能
第7
相邻
5
位置
所
总数
2*4*（5*2）*（6*5）=2400种

冬冬小悦阿奇最先站，小惠和小智最后站。
2*4*5*6*7*2=3360

冬冬先站好
然后小悦和阿奇分别站在冬冬的前面或后面，因为两人位置可以互换，因此有2种站法。
第三步站第8人，设名字为X。因为之前已站3人，因此X一共有4个位置可站。
第四步，小光和小亮必须相邻，因此把两个人作为一个整体，之前已经站好4人，因此这两人有5个位置可站，但是因为小光和小亮可以互换位置，又有两种站法。
最后站小惠和小智，之前已经站好6人，但是有两人必须并列，因此第7个人有6个位置可站，而第8个人因为不能和第7个人相邻，因此只有5个位置。

所以总数为
2*4*（5*2）*（6*5）=2400种