解答：证明：（1）∵函数f（x）=3ax2+2bx+c，
∴f（0）?f（1）=c（3a+2b+c）＞0，
又a+b+c=0，则c=-（a+b），3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b，
∴-（a+b）（2a+b）＞0，即b2+3ab+2a2＜0，
∴（
）2+3×b a
+2＜0，解得-2＜b a
＜-1，b a
∴
＜-1 3
＜b 3a
，2 3
故-
的取值范围为b 3a
＜-1 3
＜b 3a
；2 3
（2）∵x1、x2是方程f（x）=0的两个实根，
∴x1+x2=-
，x1?x2=2b 3a
=-c 3a
，a+b 3a
∴|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1?x2=（-
）2+4×（2b 3a
）=a+b 3a
（4 9
）2+b a
×4 3
+b a
，4 3
上式是关于
的一个二次函数，对称轴为b a
=-b a
，3 2
由（1）可得，-2＜
＜-1，b a
∴∴|x1-x2|2在（-2，-
]上单调递减，在[-3 2
，-1）上单调递增，3 2
∴|x1-x2|2∈[
，1 3
），4 9
∴|x1-x2|的取值范围的取值范围为[
，
3
3
）．2 3
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