A、自由落体运动的特点是初速度为零，仅受重力，所以竖直向下的运动不一定是自由落体运动．故A错误．
B、自由落体运动的初速度为零，加速度a=g的匀加速直线运动．加速度等于重力加速度的运动不一定是自由落体运动．故B错误．
C、自由落体运动仅受重力，做初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，与质量无关，所以在自由落体运动过程中，不同质量的物体运动规律相同，故C正确；
D、根据v=gt可知，物体做自由落体运动的速度与时间成正比，故D正确．
故选：CD．
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