230问答网 > 已知函数f（x）=x 3 -6x 2 -1．（1）求函数f（x）的单调区间与极值；（2）设g（x）=f（x）-c，且?x∈[-1

已知函数f（x）=x 3 -6x 2 -1．（1）求函数f（x）的单调区间与极值；（2）设g（x）=f（x）-c，且?x∈[-1

2025-01-05 22:53:33

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回答1：

（1）∵f（x）=x³ -6x² -1，
∴f′（x）=3x² -12x，
由f′（x）=3x² -12x=0，得x₁ =0，x₂ =4，
列表讨论，得：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由表知：f（x）的增区间为（-∞，0），（4，+∞），减区间为（0，4）．
当x=0时，f（x）取极大值f（0）=-1；
当x=4时，f（x）取极小值f（4）=64-6×16-1=-33．
（2）∵g（x）=f（x）-c，且?x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立
∴f（x）-c≥2c+1对?x∈[-1，2]恒成立，
∴3c+1≤f（x）在[-1，2]上恒成立．
∵由f′（x）=3x² -12x=0，得x₁ =0∈[-1，2]，x₂ =4?[-1，2]，舍，
f（-1）=-1-6-1=-8，
f（0）=0-0-1=-1，
f（2）=8-24-1=-17，
∴x∈[-1，2]时，f（x）_min =f（2）=-17，
∴3c+1≤-17，
∴c≤-6．
故c的取值范围是（-∞，-6]．