求极限 ：lim(n→∞) (2n+1)⼀√(n눀+2n)

将分式的平方后可得

(2n+1)^2/(n^2+2n)

=(4n^2+8n+1)/(n^2+2n)

= (4+8/n+1/n^2)/(1+2/n)

当n趋近正无穷时，1/n=0，1/n^2=0，所以平方后的极限值等于4。

因为n为趋近正无穷，平方前的分式的极限值等于√4=2 。

扩展资料：

函数极限的计算方法：

1、利用函数连续性：

（就是直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）

2、恒等变形

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

4、采用洛必达法则求极限

洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

解原式=lim(-x²)*ln[(x²+x+1)/(x²-x+1)]

=-lim{ln[(x²+x+1)/(x²-x+1)]/(1/x²)}

=lim{[(2x+1)/(x²+x+1)-(2x-1)/(x²-x+1)]/(2/x^3)}

=-lim{(3x²+1)*x^3/[(x²+x+1)*(x²-x+1)]}

=lim[(n²+n+1)/(n²-n+1)]^(-n²)

＝e^(-∝)

=0

扩展资料

性质：

设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。

如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得|xn-a|≥ε，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。

N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

解：
lim (2n+1)/√(n²+2n)
n→∞
=lim (2+ 1/n)/√(1+ 2/n²)
n→∞
=(2+0)/√(1+0)
=2/1
=2