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16个医疗站，把整个路程分成15等份
一共46个值班员，那么饮水站最多不能超过46个
如果是46个，就把整个路程分成45等份
45能被15整除
45÷15=3
即每3个饮水站就有一个和医疗站重合
饮水站最多就是46个

设两站重合的个数为X,
则两站重合的站把整个赛程分成 X - 1 等分，
而医疗站把整个赛程分成15等分，
所以，15/(X - 1)是整数，
X只能取4或6，
当X取4时，
因为有12个医疗站不与饮水站重合，
所以，这时最多有34个饮水站；
若X取6，同上分析，最多有36个饮水站；
综上，最多有36个饮水站。

16个医疗站，把整个路程分成15等份
一共46个值班员，那么饮水站最多不能超过46个
如果是46个，就把整个路程分成45等份
45能被15整除
即每3个饮水站就有一个和医疗站重合
饮水站设两站重合的个数为X,
则两站重合的站把整个赛程分成 X - 1 等分，
而医疗站把整个赛程分成15等分，
所以，15/(X - 1)是整数，
X只能取4或6，
当X取4时，
因为有12个医疗站不与饮水站重合，
所以，这时最多有34个饮水站；
若X取6，同上分析，最多有36个饮水站；
综上，最多有36个饮水站。
最多就是46个

最多有36个饮水站。
解：设饮水站个数是X.
则 X<46 因为途中有饮水站和医疗站不重合，必定有医疗站单独有值班员。
X+16-46>2 因为途中有饮水站和医疗站重合，所以重合的值班员数大于起点终点的2个。
所以，就得到 32又因为中间有重合的站点，假设第M个医疗站和第N个饮水站重合，就有
M/15=N/(X-1)
因为我们要求最多的站点数，所以从X=45开始试数，当试到X=36时，能得出正确结论。