柯西收敛准则是一个用来判断数列是否收敛的方法,同时也是实数完备性的一个等价定理。需要指出的是,它的条件更弱,需要加上阿基米德性才能和其它如确界定理等的定理等价。是用来判断某个式子是否收敛的充要条件。
柯西收敛准则的概括
主要应用在数列,数项级数,函数,反常积分,函数列和函数项级数的方面。因为它的本质是将级数转化成数列,从而这是一个最强的判别法,柯西收敛准则成立是级数收敛的充分必要条件.是数学分析中的一个重要定理之一。
运用柯西收敛准则可以解决一些无法运用N定义,公式法,裂项求和, 两边夹法则等比较复杂的数列问题。是解决这些问题的一个实用性比较强的工具,为这些问题的解决提供了一个新的思考方向。
柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理,给出了收敛的充分必要条件。
柯西极限存在准则,又称柯西收敛准则,是用来判断某个式子是否收敛的充要条件(不限于数列),主要应用在以下方面:数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则,因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。
柯西收敛准则充分性证明:
(1)、首先证明Cauchy列有界。
取ε=1,根据Cauchy列定义,存在自然数N,对一切n>N,有Ia(n)-a(N+1)I<1。
令M=max{|a(1)|,|a(2)|…|a(N)|,|a(N+1)|+1}。
则对一切n,成立|a(n)|≤M。
所以Cauchy列有界。
(2)、其次在证明收敛。
因为Cauchy列有界,所以根据Bolzano-Weierstrass定理(有界数列有收敛子列)存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。
因为Cauchy列{a(n)}的定义,对于任意的ε>0,都存在N,使得m、n>N时有|a(m)-a(n)|<ε/2。
取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得|aj(k)-A|<ε/2。
因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时,我们有|a(n)-A|<=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<ε/2+ε/2=ε。
这样就证明了Cauchy列收敛于A。
即得结果:Cauchy列收敛。