关于多元函数微积分的问题

首先看问题，说明z是关于x和y的函数，由于方程中z不能单独放在等号的一侧，说明方程是隐函数。隐函数求导/偏导时，只需保留导数/偏导数式子，最后移项就行。对x求偏导时，y看做常数，对y求偏导时，x看做常数。

上面是用隐函数的求导公式求导，比较简便。其优点是可省去一些代数变换的工作。

作为对比，下面再用直接求导的方式作一次：x/z=ln(z/y)，即x=z(lnz-lny)........①;

①式两边对x求导得：1=(∂z/∂x)(lnz-lny)+z[(∂z/∂x)/z]；1=(∂z/∂x)(lnz-lny+1)

∴∂z/∂x=1/(lnz-lny+1)=1/[ln(z/y)+1]=1/[(x/z)+1]=z/(x+z)；

①式两边对y求导得：0=(∂z/∂y)(lnz-lny)+z[(∂z/∂y)/z-(1/y)]=(∂z/∂y)(lnz-lny)+(∂z/∂y)-(z/y)

=(∂z/∂y)[ln(z/y)+1]-(z/y)=(∂z/∂y)[(x/z)+1]-(z/y)；∴∂z/∂y=(z/y)/[(x/z)+1]=z²/[y(x+z)];

∴(∂z/∂x)+(∂z/∂y)=z/(x+z)+z²/[y(x+z)]=z(y+x)/[y(x+z)];