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数列{an}中，已知a1=1，a（n+1)-an=n+2⼀2*（n+1），求数列{an}的通项公式

2024-12-12 07:34:57

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回答1：

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a(n+1)＝[(n+2)/n]*Sn（n=1，2，3...）
求（1）数列{sn/n}是等比数列（2）S(n+1)=4an

∵a(n+1)＝S(n+1)－Sn
∴S(n+1)－Sn＝[(n+2)/n]*Sn
即[S(n+1)]/(n+1)＝2×(Sn/n)
意即｛Sn/n}是以S1为首项，以2为公比的等比数列

∵[S(n+1)]/(n+1)＝2×(Sn/n)
∴Sn/n＝2×[S(n-1)/(n-1)]
∴[S(n+1)]/(n+1)＝2×(Sn/n)＝2×2×[S(n-1)/(n-1)]
又∵a(n+1)＝[(n+2)/n]*Sn
∴an＝[(n+1)/(n-1)]*S(n-1)
∴S(n+1)/(n+1)＝4an/(n+1)
∴S(n+1)=4an