用洛必达法则求极限limx趋向于0[1⼀ln(x+1)-1⼀x]

limx趋向于0[1/ln(x+1)-1/x]的极限等于：1/2。

limx趋向于0[1/ln(x+1)-1/x]

=[x-ln(x+1)]/xln(x+1) 

=[x-ln(x+1)]/x^2 【 ln(x+1)和X是等价无穷小，在x趋于0时】

=[1-1/(x+1)]/2x 【0/0型洛必达法则】

=x/2x(x+1)

=1/2

扩展资料：

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

7、利用两个重要极限公式求极限。

limx趋向于0[1/ln(x+1)-1/x]的值为1/2。

解：lim(x→0)(1/ln(x+1)-1/x)

=lim(x→0)((x-ln(1+x))/(x*ln(1+x)))

=lim(x→0)((x-ln(1+x))/(x*x))          （当x→0时，ln(1+x)等价于x）

=lim(x→0)((1-1/(1+x))/(2x))           （洛必达法则，同时对分子分母求导）

=lim(x→0)(x/(1+x))/(2x))

=lim(x→0)(1/(2*(1+x)))

=1/2

扩展资料：

1、极限的重要公式

（1）lim(x→0)sinx/x=1，因此当x趋于0时，sinx等价于x。

（2）lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e，或者lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。

（3）lim(x→0)(e^x-1)/x=1，因此当x趋于0时，e^x-1等价于x。

2、极限运算法则

令limf(x)，limg(x)存在，且令limf(x)=A，limg(x)=B，那么

（1）加减运算法则

lim(f(x)±g(x))=A±B

（2）乘数运算法则

lim(a*f(x))=a*limf(x)，其中a为已知的常数。

3、洛必达法则计算类型

（1）零比零型

若函数f(x)和g(x)满足lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0，且在点a的某去心邻域内两者都可导，且

g'(x)≠0，那么lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f'(x)/g'(x)。

（2）无穷比无穷型

若函数f(x)和g(x)满足lim(x→a)f(x)=∞，lim(x→a)g(x)=∞，且在点a的某去心邻域内两者都可导，且

g'(x)≠0，那么lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f'(x)/g'(x)。

参考资料来源：百度百科-极限

参考资料来源：百度百科-洛必达法则

把1/ln(1+x)-1/x 通分变成[x-ln(1+x)]/[x*ln(1+x)]当x趋于0时,上式为0比0型不定式用洛必达法则,分子分母分别求导变成：[1-1/(1+x)]/[ln(1+x)+x/(1+x)] 上式仍是0比0型不定式 再次求导变成1/(2+x)当x趋于0时 上式极限为1/2 即为所求极限

简单分析一下，答案如图所示

这个题目难处理的是分子上的e，可以运用洛必达法则，但也可以通过处理后运用等价无穷小代换 下面运用等价无穷小代换 lim(x→0）(((1+x)^(1/x)-e))/x =lim(x→0）(((1+x)^(1/x)/e-1))/(ex) =lim(x→0）{e^[ln(1+x)^(1/x)/e]-1}/(ex) =lim(x→0）ln(1+...