y〃+y=xcos2x的一个特解

y〃+y=xcos2x的一个特解为(4/9)sin(2x)-(x/3)cos(2x)。

解：因为y''+y=0的特征方程是r²+1=0，

则r=±i (i是虚数)。

那么此齐次方程的通解是y=C1*cosx+C2*sinx (C1,C2是积分常数)。

令原方程的解为y=(mx+n)cos(2x)+(Px+q)sin(2x)，

那么，y'=(2px+m+2q)cos(2x)+(-2mx-2n+p)sin(2x)，

y''=(-4mx-4n+4p)cos(2x)+(-4px-4m-q)sin(2x)，

求得m=-1/3，n=p=0n，q=4/9

那么原方程的一个解是y=(4/9)sin(2x)-(x/3)cos(2x)。

扩展资料：

微分方程的解

1、一阶线性常微分方程的解

对于一阶线性常微分方程y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解为y=C(x)*e^(-∫p(x)dx)。然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

2、二阶常系数齐次常微分方程的解

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。

对于二阶常系数齐次常微分方程y''+py'+qy=0，可求得其通解为y=c1y1+c2y2。

然后可通过其特征方程r^2+pr+q=0来求解二阶常系数齐次常微分方程的通解。

（1）当r1=r2，则有y=(C1+C2*x)e^(rx)，

（2）当r1≠r2，则有y=C1*e^(r1x)+C2*x*e^(r2x)

（3）在共轭复数根的情况下，y=e^(αx)*(C1*cos(βx)+C2*sin(βx))

参考资料来源：百度百科-微分方程

设y=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x是y''+y=xcos2x①的解，则
y'=acos2x-2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x
=(2cx+a+2d)cos2x+(-2ax-2b+c)sin2x,
y''=2ccos2x-2(2cx+a+2d)sin2x-2asin2x+2(-2ax-b+c)cos2x
=(-4ax-2b+4c)cos2x+(-4cx-4a-4d)sin2x,
都代入①，得(-3ax-b+4c)cos2x+(-3cx-4a-3d)sin2x=xcos2x,
比较得-3ax-b+4c≡x,且-3cx-4a-3d≡0,
∴a=-1/3,b=c=0,d=4/9.
∴所求特解是y=(-x/3)cos2x+(4/9)sin2x.

简单计算一下即可，答案如图所示

解∵齐次方程y''+y=0的特征方程是r²+1=0，则r=±i
(i是虚数)
∴此齐次方程的通解是y=c1*cosx+c2*sinx
(c1,c2是积分常数)
令原方程的解为y=(ax+b)cos(2x)+(cx+d)sin(2x)
∵y‘=(2cx+a+2d)cos(2x)+(-2ax-2b+c)sin(2x)
y''=(-4ax-4b+4c)cos(2x)+(-4cx-4a-d)sin(2x)
代入原方程，求得a=-1/3，b=c=0，d=4/9
∴原方程的一个解是y=(4/9)sin(2x)-(x/3)cos(2x)
故原方程的通解是y=c1*cosx+c2*sinx+(4/9)sin(2x)-(x/3)cos(2x)
(c1,c2是积分常数)。

cos2x是Asin2x+Bcos2x
xcos2x对应的是(Ax+B)sin2x+(Cx+D)cos2x