数学题，【1小时内回答】急急急急急急急急急

速度给分啊，做出来了！
首先假设a+b=n，由题目可以看出，决定答案的数字a+b的和来的，于是就由n（n-1)/2≤2009，计算这个方程，因n必须是正整数，登出n=63，如果n=64的话，就＞2009了，所以，取最大值n=63，代人原来的方程a+n（n-1）/2=2009,得出a=56，b则等于7了。
给分啊，大哥！

解：
不妨设a≥b≥0，
令x=a+b，y=a-b，则x≥y≥0
a=(x+y)/2, b=(x-y)/2
原方程变成
(x+y)/2+[x(x-1)]/2=2009
x+y+x^2-x=4018
x^2+y=4018
∵y≥0 x≥y
∴x^2+x=x(x+1)≥4018≥x^2，
∵62*63=3906，63*64=4032，64^2=4096>4018
故x=63，y=49。
∴a=56，b=7 或a=7，b=56

a+(a+b)[((a+b)-1)]/2=2009
a+(a+b)^2/2-(a+b)/2=2009
(a+b)^2/2+(a-b)/2=2009
(a+b)^2+a-b=4018

因为4018=63^2+49
所以a+b=63
a-b=49
所以a=56,b=7

2^10=1024
2^12=4096=64^2 这个是常识

寻找离2009最近的等于x（x-1）/2的数字（x是正整数）
拼凑，得，63*62/2=1953(如果一下子找不到63，可从10、20、30跳跃性的试探，乘出来的结果小于2009就往下走，大于就停止并回到原来的60，确定了它在60-70之间就好办了)
2009-1953=56即a
63-56=7即b

a+(a+b)(a+b-1)/2=2009可化为(a+b)^2+a-b=4018
由于a,b为正整数，所以a+b>a-b,上式中(a+b)^2远大于a-b
63^2=3969,则a+b=63，a-b=4018-3969=49,a=56,b=7
64^2=4096,则a+b=64，a-b=4096-3969=78,不满足a+b>a-b
所以a=56,b=7

只求非负整数解，不妨设a≥b≥0，记x=a+b，y=a-b，则x≥y≥0。原方程等价于x^2+y=4018，则x^2+x≥4018≥x^2，62*63=3906，64^2=4096，所以x=63，y=49。非负整数解为a=56，b=7；或a=7，b=56。

（注：这是一条有无穷个格点（横纵坐标都为整数的点）的抛物线）