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一、关于函数教材的地位
函数关系是量与量之间关系的抽象,凡涉及到量的关系就少不了要用函数概念去描述、去刻画,并通过它去研究客观实际中的数量关系,所以无论就业或升学都要学点函数概念.
高中代数教材是以函数为中心,函数又比较抽象、难学,所以在初中讲点函数为高中作点准备也是必要的.
就以初中代数本身而言,像解三角形、二次不等式等也都离不开函数的有关概念.在物理、化学中像匀速运动、波义耳定律、抛射运动、自由落体也都要有相应的函数作基础.
因此,初中学习函数初步是相当必要的.
二、初中函数教学的特点
首先,从整个中学阶段来看,函数教学大致可划分为下面三个阶段:
第一,感性认识阶段
这一阶段以积累材料为其主要特征.在正式引入函数概念之前,基本上都属于这一阶段.
这一阶段教学的基本内容,大致有以下几个方面:
(1)通过各种关型的算术运算,让学生观察运算的结果与组成这一运算的各项之间的相互关系.如:和数与被加数、加数之间的相互关系,商数与被除数、除数之间的相互关系等.
(2)通过代数式和方程的学习,让学生进一步认识到如何用文字来表示一般的数量关系;如何用代数式来表示量与量之间的关系等.
(3)通过数的概念的发展,来积累学生关于“集合”这一概念的初步思想.例如在讲被开方数的容许值时,可以引导学生注意非负数集合.课本有意识地渗透了一些集合思想,这对以后讲函数概念是极其有帮助的.
(4)通过数轴和坐标的教学积累关于“对应”这一概念的初步思想.
第二,理性认识阶段
这一阶段是函数教学的主要阶段.它分为二个小循环.第一个循环是初中的“函数及其图像”;第二个循环是高中从集合开始一直讲到三角函数及其图像.这一阶段的教学任务是正确地形成函数的一般概念,较深刻地理解函数关系,掌握绘制简单的函数图像和讨论它们的性质的方法,学会应用函数的性质来解决某些比较简单的实际问题,把学生的认识水平和思维水平向前推进一步.
第三,深化和发展阶段
这一阶段的主要任务是了解函数的变化趋势,并通过它,初步掌握极限的方法——无限精确化的方法;利用微积分这一工具,对函数的增减、极值再作深一步的研究,并指出利用初等方法研究函数的局限性.
这三个阶段是彼此衔接的,由此可见,初中的函数教学具有承上启下的作用,对它学习的好坏,会直接影响后面的学习.
其次,初中的函数教学,无论对函数概念还是函数性质的教学,都是一种描述性的.这样,准确性和通俗性是其教学特点.尽管是描述性的,但交待要准确,不要给学生以错觉,并且交待又要遇俗易懂,让学生易于接受.为此需要多举实例,多运用图形、表格等直观手段.
三、关于函数概念
关于函数定义,常常有要素说的提法,如函数是由三个要素组成:定义域、对应法则、值域.这种提法不太科学,最好不要提要素,而应该重点放在函数概念的本质特征上.因为要素并未完全反映本质特征.
函数概念,它的本质特征是两条:一条是“随处定义”,一条是“单值对应”(名词可不必向学生提).
“随处定义”是指:在一个 R:X→Y的关系中,如果定义域和X相等,则R便是一个随处定义的关系.也就是说,X中的任一个元x都有Y中的元y和它对应.所以随处定义的条件是
在图39所表示的关系中,(1)是随处定义的,而(2)不是.
单值对应是指:若R为由集X到集Y的关系,而对任何一个x∈X都只有一个y∈Y和它对应,则说R是单值的,即
图40的(1)、(2)是单值对应,(3)不是单值对应.
在初中代数的函数定义中,本质就是这两条:“对于x在某一个确定的范围内的每一个确定的值(随处定义),y都有唯一确定
的值与它对应(单值对应).”这两条缺一条就不成为其函数了,所以强调本质特征比强调要素明确得多了.
此外,还要防止学生把函数都看成式,不然,就缩小了函数概念的外延.为此,在讲授函数概念时,还要举出不能用式子表示的函数的例子.
四、关于函数定义域的教学
中学课本对定义域有两个方面要求:如果用式子给出,不指明定义域,那是指自然定义域,即使式子有意义的自变量x的取值范围.课本还指出“遇到实际问题时,确定函数的自变量取值范围,必须使实际问题也有意义”.所以教学时要有所反映.
求函数定义域要涉及到诸如解方程、不等式、分式、根式等知识,所以是以新带旧很好的材料,这在教学中应作适当要求,但是题目应该是最基本的,不要故意去搞一些很做作的题,因为这种训练是没有多大意义的.
五、关于函数图像的教学
由于函数往往涉及无穷集,因而一般来说图像应无限延伸,但这在画图像方面有局限,只能用有限来表示无限.这样,一方面要求有限图像能反映出无限图像的主要特征(如与轴的交点、峰点等要表现出来);另一方面,要反映出无限的趋势(如与x轴无限接近等).这两点也是画函数图像总的要求.
要让学生掌握描绘函数图像的下述技能:设数、计算(或查表)、设坐标单位、标点、补点、用光滑曲线连接.
这里要分两种情况:
一种情况是事先并不知所画图像是什么样子,也不知其什么性质.这时候设点应该密一些,并正、负都有,如果自变量及对应值数值较大,那么坐标单位可设小一些;如果弯曲处点还不够,则应适当补点,总之不要让图像走样.
另一种情况是事先已知图像是什么样子,那么设点可以根据图像特点来设.如正比例函数,只需设一个点,再与原点连结即可.一次函数可任意设两点.反比例函数若k>0,只需设第一象限的点,第三象限的点可用原点对称的点得到.k<0,只需设第二象限的点,第四象限的点可用与原点对称的点得到.对于二次函数可设顶点、与x轴的两个交点等.
以上这些技能都应让学生掌握.
教学中要注意函数图像在解方程、不等式中的作用.
六、关于反比例函数的教学
反比例函数无论从定义、图像、性质来说,都是教学的难点.这反映在的叙述方式与正比例函数极其相似,就容易给人以误解.
(2)反比例函数图像是曲线而不是直线(第一次出现曲线),画曲线图像技能的培养,如曲线是两支、曲线不与任何轴相交,且与x轴、y轴无限接近等都是难点.
(3)在讲授单调性时,对于“负值绝对值越大就越小”,就常常被图像的表面现象迷惑而错误理解,从而对单调性得出错误结论.
这些都是应该予以重视的.
七、关于二次函数的教学
二次函数是初中字习函数的高潮和重点.它一方面与二次方程、二次不等式等密切相关,即把二次方程、二次不等式统一在函数观点下,可把两者有机地联系起来;另一方面,在讲授二次函数时,又要学习如“沿横、纵轴平移”、“配方”、“极值”等重要的数学思想、概念和方法,因此二次函数教材具有重要的培养性.
“参数a的意义”、“对称轴方程”、“沿轴平移”、“极值的意义”等,都是教学的难点.教学中克服这些难点,要从学生实际出发,采用具体的、形象的方法来讲授.
有关二次函数的题目难度要适当控制,题型要适当归类,重点应放在培养分析问题的能力上.
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