高等数学 多元函数的连续性，可导，可微的问题

偏导连续=>可微
可微=>连续
可微=>偏导存在
以上式子,反过来都不一定成立.另外连续和偏导数存在没有必然关系。
可微定义 ：

设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)

其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。

函数可导定义：
（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。

（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

定理三中，
偏导数连续不是连续+偏导数存在，
这点你完全理解错误了。

偏导数连续是指两个偏导函数
zx和zy
都是连续的。
【即求导后的函数连续，
这个条件很苛刻。】

所以，基于此，
你后面的理解都有问题。

比如，
可微是可以得到连续+偏导存在的，
但不能得到偏导数连续。

连续、可导、可微。
－－－－
(x,y)→(0,0)时，f(x,y)是无穷小与有界函数的乘积，所以极限是0=f(0,0)。所以函数在(0,0)连续。
用偏导数的定义可得fx(0,0)=fy(0,0)=0。
用可微的定义，[f(x,y)-f(0,0)-fx(0,0)x-fy(0,0)y]/√(x^2+y^2)＝√(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2))，当(x,y)→(0,0)时是无穷小乘以有界函数，所以极限是0。所以函数在(0,0)可微。