如何区别指数函数和幂函数

1、计算方法不同

指数函数：自变量x在指数的位置上，y=a^x（a>0，a不等于1），当a>1时，函数是递增函数，且y>0；当00.

幂函数：自变量x在底数的位置上，y=x^a（a不等于1）。a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。

2、性质不同

幂函数性质：

（1）正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

（2）负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

（3）零值性质

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

指数函数性质：

（1） 指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

（2） 指数函数的值域为(0， +∞)。

（3） 函数图形都是上凹的。

（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0

（5） 可以看出，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（不等于0），函数曲线分别趋向于接近y轴正半轴和x轴负半轴单调递减函数的位置，以及单调递增函数的位置。Y轴的正半轴和X轴的负半轴。水平线y=1是由减到增的过渡位置。

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7） 指数函数无界。

（8）指数函数是非奇非偶函数。

（9）指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数。

扩展资料：

幂函数的比较：

（1）做差（商）法：A-B大于0即A大于B A-B等于0即A=B A-B小于0即A小于B 步骤：做差—变形—定号—下结论 ；A\B大于1即A大于B A\B等于1即A等于B A/B小于1即A小于B （A，B大于0）

（2）函数单调性法；

（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

参考资料来源：百度百科-指数函数

参考资料来源：百度百科-幂函数

一、定义不同，从两者的数学表达式来看，两者的未知量X的位置刚好互换。

指数函数：自变量x在指数的位置上，y=a^x（a>0，a不等于1），当a>1时，函数是递增函数，且y>0；当00.

幂函数：自变量x在底数的位置上，y=x^a（a不等于1）。a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。

二、性质不同

1、幂函数：

2、指数函数：

扩展资料

幂的比较：

1、对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：y1=34 ，y2=35 因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2 大于y1 。

2、对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。

3、对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：

<1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向。

参考资料来源：百度百科-幂函数

参考资料来源：百度百科-指数函数

区别方法：观察函数的自变量 x 所在的位置，x 在指数位置就是指数函数，x 在底数位置就是幂函数。

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形如 y=a^x (a>0且a≠1) (x∈R) 的函数叫指数函数。

性质：

1. 定义域和值域

x ∈ R，y >0，图像在 x 轴上方

2. 单调性
a>1 时指数函数 y=a^x 是增函数

0

3. 奇偶性

既不是奇函数，也不是偶函数。

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形如 y=x^α (α为常数）的函数叫幂函数。即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x^0 、y=x^1、y=x^2、y=x^(-1)（注：y=x^(-1)=1/x, y=x^0 时 x≠0）等都是幂函数。当α取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于α取无理数时，不大容易理解。因此，在初等函数里，不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

性质：

幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看其奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

• α 取正值

当α>0时，幂函数 y=x^α 有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）(0,0）；

b、函数的图像在区间 [0,+∞) 上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

a=1 时即为一次函数 y=x（直线）

a=2 时即为二次函数 y=x²（抛物线）

• α 取负值
  

当α<0时，幂函数 y=x^α 有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；若为x^(-2)，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

a=-1 时即为反比例函数 y=1/x（双曲线）

• α 取零
  

当 α=0 时，幂函数 y=x^a 有下列性质：

y=x^0 的图像是直线y=1去掉一点（0,1），是两条射线，不是连续的直线（即中间有空洞）。

1、自变量x的位置不同。

指数函数，自变量x在指数的位置上，y=a^x（a>0，a 不等于 1）。

幂函数，自变量 x 在底数的位置上，y=x^a（a 不等于 1）. a 不等于 1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。

2、性质不同。

指数函数性质：

当 a>1 时，函数是递增函数，且 y>0；

当 00。

幂函数性质：

正值性质：

当a>0时，幂函数有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；

c、在第一象限内，a>1时，导数值逐渐增大；a=1时，导数为常数；0

负值性质:

当a<0时，幂函数有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

零值性质：

当a=0时，幂函数有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

3、值域不同。

指数函数的值域是（0，+∞），幂函数的值域是R。

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