首先取体积微元，在x=a（t-sint）处，x变化量为dx，形成的圆环面积为：
dS=2πxdx，
圆环所在柱面体积：dV=ydS=2πxydx
又dx=d[a（t-sint）]=a（1-cost）dt
将x，y参数方程代入得：
dV=2π[a（t-sint）][a（1-cost）][a（1-cost）dt]=2πa3（t-sint）（1-cost）2dt
∴V＝2πa3(t?sint)(1?cost)2dt
作变换u=t-π，则 t=u+π，dt=du，
原积分变为：
V＝2πa3[(u+π)?sin(u+π)]?[1?cos(u+π)]2du
=2πa3[π+（u+sinu）]（1+cosu）2du
=2π2a3(1+cosu)2du+ (u+sinu)(1+cosu)2du
上式积分的第二部分被积函数 （u+sinu）（1+cosu）2为奇函数，因此在[-π，π]上，积分为0
∴V＝2π2a3(1+cosu)2du=2π2a3(1+2cosu+cos2u)du
=4π2a3+4π2a3cosudu+π2a3(1+cos2u)du
=4π2a3?4π2a3sinu+2π2a3?
π2a3sin2u
=6π2a3
