已知函数f（x）=ex（e=2.71828…是自然对数的底数），x∈R．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象过原点的切线方程

（Ⅰ）解：设切线方程为y=kx，切点为（x₀，y₀），则

kx0＝ex0 k＝ex0

∴x₀=1，k=e，
∴函数y=f（x）的图象过原点的切线方程为y=ex；
（Ⅱ）解：当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx²，化为m=

ex

x2

，
令h（x）=

ex

x2

（x＞0），则h′（x）=

ex(x?2)

x3

，
则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，h（2）=

e2

4

．
∴当m∈（0，

e2

4

）时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数为0；
当m=

e2

4

时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数为1；
当m＞

e2

4

时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点个数为2．
（Ⅲ）证明：

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)?f(a)

b?a

=

(b?a+2)+(b?a?2)eb?a

2(b?a)

ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）?e^x＞0，且a＜b，
∴

(b?a+2)+(b?a?2)eb?a