正定二次型的判别方法:
a）：二次型标准形中n个系数都大于零，则其为正定；
b）：二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零，则其为正定；
c）：对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零，则其为正定. 注：设A为n阶方阵，则位于A的左上角的1阶，2阶，...，n阶子式， 即：称为A的各阶顺序主子式.
例1：判别二次型的正定性.
解：方法一：利用二次型的对称矩阵的特征值来判断. 先写出二次型的矩阵: 由于: 可得其全部特征值:>0,>0,>0 故此二次型为正定二次型.
方法二：利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定. 由于此二次型的矩阵为: 因为它的个阶顺序主子式:>0,>0,>0 故此二次型为正定二次型. 除了正定二次型外，还有其他类型的二次型。 定义：设有实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有f(x)<0，则称此二次型为负定二次型，对称矩阵A称为负定矩阵；如果都有f(x)≥0，则称此二次型为半正定二次型，并称其矩阵为半正定矩阵；如果都有f(x)≤0，则称此二次型为半负定二次型，并称其矩阵为半负定矩阵。
二次型是一个N元二次齐次多项式：正定是指当这个多项式的自变量不全为零时，多项式的值恒为正。
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