高等数学不定积分

∫(tanx)^4(secx)^3dx
=∫(sinx)^4(cosx)^(-7)dx
=-∫(sinx)^3(cosx)^(-7)d(cosx)
=1/6∫(sinx)^3d[(cosx)^(-6)]
=1/6[(sinx)^3(cosx)^(-6)-3∫(sinx)^2(cosx)^(-5)dx]
=1/6(sinx)^3(cosx)^(-6)-1/8∫sinxd[(cosx)^(-4)]
=1/6(sinx)^3(cosx)^(-6)-1/8[sinx(cosx)^(-4)-∫(cosx)^(-3)dx]
下面来求∫(cosx)^(-3)dx,
设I(n)=∫(cosx)^(-n)dx(n为下标)
则I(n)=∫(cosx)^(2-n)dtanx
=tanx(cosx)^(2-n)-∫(2-n)(cosx)^(1-n)(-sinx)tanxdx
=tanx(cosx)^(2-n)+(2-n)∫[1-(cosx)^2](cosx)^(-n)dx
=tanx(cosx)^(2-n)+(2-n)(I(n)-I(n-2))
所以I(n)=[tanx(cosx)^(2-n)+(n-2)I(n-2)]/(n-1)
所以∫(cosx)^(-3)dx=I(3)=1/2tanx(cosx)^(-1)+1/2I(1)
=1/2[tanx(cosx)^(-1)+I(1)]
=1/2tanx(cosx)^(-1)+1/2[ln(sinx+tanx)]
所以∫(tanx)^4(secx)^3dx
=1/6(sinx)^3(cosx)^(-6)-1/8[sinx(cosx)^(-4)-∫(cosx)^(-3)dx]
=1/6(sinx)^3(cosx)^(-6)-1/8sinx(cosx)^(-4)+1/8{1/2tanx(cosx)^(-1)+1/2[ln(sinx+tanx)]}
1/6(sinx)^3(cosx)^(-6)-1/8sinx(cosx)^(-4)+1/16tanx(cosx)^(-1)+1/16[ln(sinx+tanx)]}

原式=∫(tanx)^4d(tanx)
=(1/5)(tanx)^5+c.

把tanx^4拆成(sec^x_1)^2secx^3