求微分u=arctan(xy⼀z^2) (2)设f(x+y,xy)=xy⼀x^2+y^2,求f(x,y) (3)证明极限不存在lim(x,y)趋于(0,0)xy⼀x+y

第一道题并不是难，而是计算比较麻烦，第二道题稍微难些
1.解：
由(x²+xy)dx-y²dy=0 化为 dy/dx=(x/y)²+x/y (1)
设y/x=u y=ux 则dy/dx=u+xdu/dx
代入(1)整理得到 u²du/(1+u-u^3)=dx/x
右边容易积分，左边就比较麻烦
需要一元三次方程的求根公式和一些高等代数的知识，我假设你已经了解
对于u²/(1+u-u^3)
先分解分母并乘以-1
对于u^3-u-1，根据试根法，容易发现其没有有理根
只能用根的公式直接求了。
根据一元三次方程的求根公式u1,u2,u3
知道 设s=三次根号下[(9+√69)/18] t=三次根号下[(9-√69)/18]
u1=s+t
u2=sω+tω²
u3=sω²+tω
其中ω=-1/2+√3i/2 其中i是纯虚数，i²=-1
这样u^3-u-1=(u-u1)(u-u2)(u-u3)
容易知道(u-u2)(u-u3)=u²+(s+t)u+s²-st+t²
这样的表达比较麻烦，我不妨将上式设为
(u-u2)(u-u3)=u²+bu+c 该式子在有理数域上显然是无法分解的，故不可约
u1=a
这样u²/(1+u-u^3)=u²/(u-a)(u²+bu+c)
设u²/(u-a)(u²+bu+c)=p/(u-a)-(mu+n)/(u²+bu+c) p,m,n为未知参量
对于上式右边合并整理后对比可以得到
p=-(ab+c)/(a²+ab+c) m=a²/(a²+ab+c) n=-ac/(a²+bc+c)
这样p,m,n就为已知量了
下面就是认真仔细的积分的问题了
∫[p/(u-a)]du=pln|u-a|+k1
∫[(mu+n)/(u²+bu+c)]du=(m/2)∫[(2u+b)/(u²+bu+c)]du-[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]∫{1/[[(1/√(c-b²/4))(u+b/2)]²+1]}d[1/√(c-b²/4)](u+b/2)
=(m/2)ln|u²+bu+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](u+b/2)+k2
其中k1,k2为常数
这样
u²du/(1+u-u^3)=dx/x两边同时积分得到方程的通解
pln|u-a|+(m/2)ln|u²+bu+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](u+b/2)
=ln|x|+k
其中p,m,n,a,b,c为已知量，k为常数
由于u=y/x
则最后通解为
pln|y/x-a|+(m/2)ln|y²/x²+by/x+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](y/x+b/2)
=ln|x|+k
其中p,m,n,a,b,c为已知量，k为常数
我补充说明一下，p,m,n,a,b,c根据前面所设所求都可以顺次求出具体的数值，由于非常麻烦，我都略去，希望你能自己求出结果，我只是说出这个题目的大概思路。

2.解：
已知函数f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy) 在点(0,0)
累次极限
由于无论是x→0还是y→0的时候 f(x,y)的累次极限显然都不存在
重极限
可以使用如下技巧，假设，f(x,y)延y=kx (k为常数)趋向于(0,0)时
f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy)=(e^x-e^kx)/sin(kx²)
显然，当x→0时，limf(x,kx)不存在
所以f(x,y)的重极限也不存在