1³+2³+3³+4 ³+……..+99³+100³=

解：设S100=1³+2³+3³+4 ³+……..+99³+100³
S99= 1³+2³+3³+4 ³+……..+99³;
S100+S99=1³+(2³+1³)+(3³+2³)+。。。+(100³+99³);(立方和公式）
S100+S99=1³+(2+1)（2*2-2*1+1*1)+(3+2)(3*3-2*3+2*2)+...
+(100+99）（100*100-100*99+99*99）=（1³+2³+3³+4 ³ +……..+99³+100³）-（2*2*1+3*3*1+4*4*3+..+100*100*99)+(2*1*1+3*2*2+
4*3*3+100*99*99）+（

有公式Tn=1*1+2*2+3*3+..+n*n=n(n+1)(2n+1)/6;
T100=1*1+2*2+3*3+...+100*100=100*101*201/6=?;
T99=1*1+2*2+3*3+...+99*99=99*100*199/6=？
设an=n(n+1)=n*n+n;
C99=a1+a2+a3+...+a99=1*2+2*3+3*4+。。。+99*100
=1*1+2*2+3*3+...+99*99+99*(1+99)/2=T99+99*(1+99)/2=？
S100-S99=T100+T99+T99+99*(1+99)/2=

设S=1³+2³+3³+4 ³+……..+99³+100³
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1;
n^4=(n-1)^4+4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1;
.......
2^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1;
结合自然数逐项平方和公式s2=1/6*n*(n+1)*(2n+1);
与自然数逐项求和公式:s1=1/2*n*(n+1)逐式相加得：
(n+1)^4=1+4S+6*1/6*n*(n+1)*(2n+1)+4*1/2*n*(n+1)+n;
整理既得，S=[1/2*n*(n+1)]^2=s1^2=5050^2=25502500