对任意n阶方阵AB，求证AB与BA有相同的特征值和相同的特征多项式

如果AB与BA的阶数不同的话，AB与BA不可能有相同的特征值和相同的特征多项式

见以下定理：

只要有相同的特征多项式，就是由相同的特征值。

AB与（AB）'(转置)显然有相同的特征多项式。

（AB）'=B'A'

B'A'和BA的关系是，前者的第i行j列的元素是后者i列j行的元素。

也就是说，两个举证是对称，必然有相同的特征多项式。

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设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使得关系式Ax=λx成立，那么，这样的数λ就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。

然后，我们也就可以对关系式进行变换：(A-λE)x=0 其中E为单位矩阵。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式为0，即|A-λE|=0。带入具体的数字或者符号，可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，左端 |A-λE|是λ的n次多项式，也称为方阵A的特征多项式。

设t为AB的特征值 ABx=tx 两边左乘B
则BABx=tBx
Bx是BA的特征向量，t也是BA的特征值
反之BAy=ky
ABAy=kAy
同样k是AB的特征值，所以AB与BA有相同特征值
A和B为n阶方阵
所以AB的特征多项式为x^m(x-t1)(x-t2)....（x-ts) m+s=n
而BA的特征多项式为x^h(x-t1)(x-t2)....（x-ts) h+s=n
所以m=h
所以AB与BA有相同的特征多项式

只要有相同的特征多项式，就是由相同的特征值。

AB与（AB）'(转置)显然有相同的特征多项式。

（AB）'=B'A'

B'A'和BA的关系是，前者的第i行j列的元素是后者i列j行的元素。

也就是说，两个举证是对称，必然有相同的特征多项式。

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相关性质

性质1：行列互换，行列式不变。

性质2：一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式。

性质3：如果行列式中有两行相同，那么行列式为0，所谓两行相同，即两行对应的元素都相等。

性质4：如果行列式中，两行成比例，那么该行列式为0。

性质5：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

性质6：对换行列式中两行的位置，行列式反号。

用分块矩阵证明就行，把图片中的两个等式两边同时取行列式。