大一高数如何用极限定义证明“0.9的循环等于1”？

解：设an=0.1^n*9，Sn为数列{an}的前n项和，

①根据等比数列求和公式可知Sn=(a1-a1*0.1^n)/(1-0.1)=a1(1-1*0.1^n)/0.9=1-0.1^n（a1=0.1^1*9=0.9）；

②根据极限定义任给E>0，不妨设1>E>0，取N=[-lgE]+1，则当n>N时，0.1^n<0.1^N<0.1^(-lgE)=E；

最后，得到Sn当n趋向于无穷时极限为1，而此极限就是0.9的循环。

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”。

设an=0.1^n*9，Sn为数列{an}的前n项和，则根据等比数列求和公式可知Sn=(a1-a1*0.1^n)/(1-0.1)=a1(1-1*0.1^n)/0.9=1-0.1^n（a1=0.1^1*9=0.9），根据极限定义任给E>0，不妨设1>E>0，取N=[-lgE]+1，则当n>N时，0.1^n<0.1^N<0.1^(-lgE)=E，这样就得到Sn当n趋向于无穷时极限为1，而此极限就是0.9的循环

极限本来就是无限接近于，所以，0.999...≠1