指数函数方程求解

(√ 2+1)^x+(√ 2-1)^x=6要过程

2025-01-02 19:19:56

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回答1：

解答：
(√ 2+1)^x+(√ 2-1)^x=6
(√ 2+1)^x+(√ 2+1)^(-x)=6 [分子有理化]
设 y = (√ 2+1)^x
原式化为：
y + 1/y = 6
y²- 6y + 1 = 0
y₁= 3 + 2√2
y₂= 3 - 2√2

(√ 2+1)^x₁= 3 + 2√2,
x₁= [ln(3 + 2√2)]/(√ 2+1) = 0.7302

(√ 2+1)^x₁= 3 - 2√2,
x₁= [ln(3 - 2√2)]/(√ 2+1) = -0.7302

回答2：

两边都乘以(√ 2+1)^x 先

回答3：

令 (√ 2-1)^x=t，原方程两边都乘以t
则有
1+t^2=6t
解得
t=3+2√2或t=3-2√2
即(√ 2-1)^x=3+2√2或(√ 2-1)^x=3-2√2
得x=㏑（3+2√2）/(√ 2-1) 或x=㏑（3-2√2）/(√ 2-1)

装的是word03，不太熟，所以好多格式不太正确，希望能看懂