一道超难的数学题

（一）解题的思维过程
对于如上问题，有网友认为可能缺少等边三角形的边长条件，但我们仔细想想或做一个图，就会知道通过已知条件可以确定这样的三角形，因此并不缺少条件。
。图1
还有网友认为“觉得用余弦定理一定可以解出来,不过好象不是初中知识”，这很有道理，我通过余弦定理定理可以得到如下方程式：
3^2+5^2-2*3*5*cosAPB=3^2+4^2-2*3*4*cosAPC=5^2+4^2-2*5*4*cosBPC （1）
因为BPC=2π-APB-APC
cosBPC=cos(APB+APC)
带入（1）式后就是只有两个未知数的两个方程，好象可以解答出来了。可是因为是三角函数方程，解答起来比较困难。
因为cos(APB+APC)=cosAPB*cosAPC-sinAPB*sinAPC
而sinAPB=sqrt(1-cosAPB^2)，sinAPC=sqrt(1-cosAPC^2)
再带入得到的方程非常复杂，很难解答出来，因此通过余弦定理定理来解答行不通。
避开了余弦定理，我曾尝试用三角函数的其他方法，如:
3*sinPAB=5*sin(π/3-PBC)，5*sinPBC=4*sin(π/3-PCA)，4*sinPCA=5*sin(π/3-PAB) （2）
同样是三个未知数三个方程，好象可以解答出来，但是由于展开后又是正弦和余弦函数都有的三角函数方程，解答起来依然非常困难，只好另求解答方法。
从PA=3，PB=5，PC=4的条件我们很容易联想到“勾三股四弦五”，即通过勾股定理来构造直角三角形，但有好像没有可以用来够成Rt△的边。这时我们可以想到：因为PB=5，以它为弦来构造一个直角三角形PEB，使PE=3，BE=4，这样角BPE就确定了，只要求出等腰三角形APE的顶角，题目就得解了。
图2
可是由于AE的长度不知，求出角APE同样困难。经过反复思考，突然发现三角形AEB和三角形APC有相同之处，如果它们全等问题不就得解了。因为AB=AC，BE=PC，要证明三角形AEB和三角形APC全等，必须要需要角ABE=角ACP，可是要证明角ABE=角ACP又不知该如何下手。
（二）运用逆向思维方法
似乎解题方法又陷入了绝境了，但我们又可以想到如果两个三角形全等，那么AE=AP=3，三角行APE就是等边三角形了。我们利用逆向思维方法，先通过AP为底边做APE为等边三角形，连接BE，证明三角形BEP为直角三角形，问题同样得解了。
因为三角形APE为等边三角形，角BAC=角PAE=π/3，则角BAE=角CAP,AE=AP=3,AC=AB,则三角形AEB和三角形APC全等，故EB=PC=4,因为BE=4,EP=3,BP=5,可以求得APB=π/3+arcsin4/5。原题得解。
本题采用逆向思维方法，先通过AP为底边做APE为等边三角形，是问题得解的关键。
（三）问题的展开
从上面的答案可以看出，一个初中学生可能无法用π/3+arcsin4/5来表示，因为他们没有学习过反三角函数。当然他可以这样来表述，设“勾三股四弦五”的直角三角形中，较大的一个锐角为α，则角APB=π/3+α。
图3
我们通过同样的方法，以PC为底边做等边三角形PFC,可以得到角BPC=π/3+arcsin3/5。同样很容易证明四边形PEBF为矩形，则角APC=2π-π/3-π/3-π/2=5π/6。
从上可以看出，如果原题改为求角APC的度数，就用不着反三角函数表示了。
(四) 逆向思维方法在教与学中应用
其实逆向思维方法是我们在正常解答过程中遇到障碍时常用的一种方法，可是我们在许多教学辅导材料中只能看到它的解答过程，并不清楚在解答过程中的思维过程。很多同学在解答类似题目过程中，很不容易找到突破口，主要是在平时训练中按照正常的思考过程居多，很难跳跃到逆向思维。
在数学中，在证明题中，我们经常用到要证明某结果，需要什么条件，要证明这个条件成立，又需要什么条件，并一直推到已知条件就是一种逆向思维方法。
另外，作为教师，在给同学们解答例题时，要多给同学们讲解你的思维过程，包括失败的思维过程，以让同学们能够很好地总结。特别是在思维过程中怎样采用的逆向思维让问题得以解决的，不能单单把问题一步一步地解答出来了事

2007-03-16 19:42:

呵呵，我以前也做过，不是太难做！
将△ABP绕点B顺时针旋转60°至△ABP’，使AB与BC重合
∴BP’=BP=6 PA=PC’ ∵∠PBP’=60° ∴PP’=BP’=BP=6 ∵PA=8 PC=10
∴△PP’C是直角三角形 ∠PP’C=90° ∵∠BP’P=60° ∴∠BP’C=150°
∴∠APB=150°
哈~~我做的还是对的！
那个叫zhuiqiu_002 的 人家那个才是初几的题，哪有你想的那么麻烦！连sin都出来了！

这是一道旋转题。
我的答案不是150，我算出来只有113°。
旋转之后，连接QP，我们知道△QBP一定是正三角形，则∠BQP=60°，QA=PC=10；则△QPA为直角三角形且∠QPA=90°，同时sin∠PQA=8/10=0.8,则∠PQA=53°（大约为53°）；所有最终结果为113°。
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一不小心，看错角了，求成∠BPC了

这一类型的题一般用旋转的方法构造等边三角形。
将三角形ABP旋转60度得到三角形ACQ使AB与BC重合。易知三角形PAQ是边长为8的等边三角形。由QC=BP=6知∠PQC=90°，则∠AQC=150°，
由全等关系∠APB=150°。
祝你学习进步！

这么简单的题还好意思问~~不懂hi我吧