关于高数极限等价代换的疑问

你的疑问貌似很多，其实都是一个问题。我总的跟你讲一下这部分知识。

“等价无穷小替换”是一个很危险的做法，弄不好就会出错，对于高数的初学者来说更是头疼。其实等你学到“泰勒级数”一部分，就可以丢掉“等价无穷小替换”这个方法了，用泰勒级数做，思路清晰、方法通用且不会出错。

我简单说说泰勒级数的知识：
一个函数可以用一个无穷多项的多项式来逼近。比如：
sin x = x/1! - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...
这就是把sinx这个函数展开成了泰勒级数，项数越多逼近的越相似，项数无穷多，两者就是完全相等。

再来说说等价无穷小的知识：
当x-->0时，sinx与x是等价无穷小。

比较以上两者，我们发现：
等价无穷小其实就是取了泰勒级数的第一项!而忽略了高阶的无穷小！
这就是等价无穷小的实质！

接下来问题就清楚了。我写几个题目：
（1）lim {x-->0} (sinx-x)/x
（2）lim {x-->0} (sinx-x)/(x^2)
（3）lim {x-->0} (sinx-x)/(x^3)

我们先用泰勒级数来做，做出正确答案先。
把sinx用代入
sinx-x=-(x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...
再除以分母，很快得到结果：
（1）=lim {x-->0} -(x^2)/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7! + ...=0
（2）=lim {x-->0} -(x^1)/3! + (x^3)/5! - (x^5)/7! + ...=0
（3）=lim {x-->0} -1/3! + (x^2)/5! - (x^4)/7! + ...=-1/6

这个答案是毋庸置疑的，不信你也可以用罗比达法则来做,不停求导就是了。
比如（3）lim {x-->0} (sinx-x)/(x^3)
=lim {x-->0} (cos-1)/(3x^2)
=lim {x-->0} (-sinx)/(6x)
=lim {x-->0} (-cosx)/6
=-1/6

而我们用等价无穷小替换来做时，因为sinx等价于x，所以上面三个式子分子一减都没了，结果算出来三题都是0。

这就是为什么加减法不能用等价无穷小替换的原因！
如果我们用等价无穷小替换的方法，加减法把等价无穷小对消掉了，我们觉得是彻彻底底的对消了，什么都没了。
但其实并非如此，还剩下高阶无穷小没有写出来，（就像上题中的x^3）。此时分母如果再除以一个和高价无穷小同样量级的式子，答案就不是0喽，就像上面的第（3）题。

这就是问题所在！老师跟初学者说加减法不能替换，但是有些题目初学者替换了做，结果跟答案是一样的，就像第（1）（2）两题。那是因为除以的分母比较大，分子上残留的高阶无穷小的作用还没有发挥出来！结果跟答案一样只是巧合，从做法的逻辑上来讲已经是错的了。

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至于你提的问题，我就不逐一回答了，你照着我上面说的分析原因，就知道了，比如：“lim(A+B)C 可以直接代换为 lim(D+B)C吗？”当然不能，就用我举的例子。

你这部分困惑不用过分着急，等学到后面就全懂了，现在老师讲的不清楚也不是因为老师水平不够，而是初学者有很多不知道，老师没法讲！

有什么具体问题直接Hi我吧。

楼主有点困惑啊，希望我的解答对你又所帮助
第一个问题
关于limA = limD
进而 limA+limB = limD+limB ==> lim(A+B) = lim(D+B)

==> lim(A+B)limC = lim(D+B)limC

==> lim(A+B)C = lim(D+B)C
楼主说的没错 只要极限都存在的话肯定可以这么代了，
这点请楼主放心，这是极限的最最基本的运算法则啊
那为什么老师说不能带加减，只能代乘除了，请楼主切记
上述成立的条件！是极限都存在啊，
如一楼同学的例题 lim {x-->0} (sinx-x)/(x^3)
就不能代了 因为分母极限为零！！！
请楼主注意 分母极限为零 就有两个问题
其一极限四则运算法则里不允许分母为零！！！
其二 除以零 相当于乘以无穷大，无穷大就是极限不存在啊
请楼主试想一下将分母换成一个常数就可以代了啊
第二个问题二楼的兄弟回答的很不错啊

最后提醒楼主极限运算中用到两个法则
一个是极限的四则运算法则
一个是无穷小的运算法则
注意注意区别联系啊

limA+limB = limD+limB ==> lim(A+B) = lim(D+B)
你这步做的是需要一定条件下才能成立的 所以下面写的也就不一定成立
如果极限存在 并且不是无穷小或无穷大的时候是可以代换的
在X趋近于a的情况下 只有lim(A+B)C这个式子是未定式的情况下才能将X代换成a，如果不是未定式的话 是不能代换的 需要用法则化简
最后一个问题：只要将X代换成a后 对极限本身没有什么影响 可以单独代换
例：lim （lnx/1-x)sinx中 x趋向于0
这里1-x就可以代换成1-0而lnx和sinx就不用代换

关于老师说的只可以代换积和商中的，不可以代换和差中的是因为积和商不会出现“0”的问题，而和差可能会有，比如说：lim（sinx-x）/（sinx-x）在x趋近于0时按等价代换来说=lim（x-x）/（sinx-x）=0，而显然应该=lim1=1