函数与导数的联系

导数值代表的是函数曲线上每点的切线斜率的值
所以，导数大于零，斜率大于零，那么曲线就是上升的
反之，导数小于零，斜率小于零，那么曲线就是下降的
导数越大，斜率越大，函数的曲线图像上也就越陡
函数的零点和根通过导数是看不出来的，因为函数零点和根的地方曲线也会有斜率啊
但是可以求函数的极值点，因为极值点出导数为零。
因为斜率代表上升或者下降，通过这个关系就能够得到值域了啊，也就是可以得到极值点，最大值最小值只能出现在定义域的两个端点或者极值的地方，极值点处导数为零，导数起的就是这个作用。

这个怎么说呢？不知道你学过高等数学没有，学过高等数学的话，这个是很简单的事情。
函数求导得到的方程是函数图像的切线斜率方程，举个列子哈：比如抛物线y=x平方，求导得到： y=2x,在x=0的点，y=0，即抛物线的在x=0的点的切线斜率为0，即x轴。
你说的这些问题都可以用求导的方法做，很简单，建议你看下高等数学的书就OK了

导数求的是函数在x点的切线的斜率
f'(x)=0时x是f(x)的最值(f(x)大于x附近任意f(x)值）
导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。
y=f(x)的导数有时也记作y'，即 f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。
注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。
2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。
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求导数的方法
（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
② 求平均变化率
③ 取极限，得导数。
（2）几种常见函数的导数公式：
① C'=0(C为常数函数)；
② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)；
③ (sinx)' = cosx；
④ (cosx)' = - sinx；
⑤ (e^x)' = e^x；
⑥ (a^x)' = (a^x) * Ina （ln为自然对数）
⑦ (Inx)' = 1/x（ln为自然对数）
⑧ (logax)' =(1/x)*logae,(a>0且a不等于1)
补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。
（3）导数的四则运算法则：
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
（4）复合函数的导数
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！