1÷3= 0.3的循环，1⼀3乘以3等于1，那么0.3的循环乘以3似乎等于0.9的循环。这似乎矛盾。这怎样解释？

你所说的三个式子1/3乘以3等于1和0.3的循环乘以3等于0.9的循环这两个式子正确，唯独1÷3=0.3的循环错误，为什么是这样请看我以下的解释：
数学上指的0.9的循环小数永远是个数的过程，是个变量，而不是数的结果，0.9的循环=1/3*3本身就不成立，有人会说1/3等于0.3的循环，再乘以3不是等于0.9的循环吗？其实如果严格的来说1/3不等于0.3的循环，应该等于0.3（3的n次循环）+0.1的n+1次方×1/3,这样也就是说明了有些时候分数和小数不能完全等同。1/3是个结果，而0.3的循环是个过程，两者不能完全等同。同理也说明了0.9的循环永远趋向于1但却并不等于1。

0.9循环就是1，实际上实数的表示有很多种，我们所熟知的”1“就用1表示，但在数学上"1"还有别的表示方法，比如说0.9循环，只是表示方法的不同。我们学过的实数的表示方法没有区分不同表示方法的相同之处和不同之处，有时就会造成0.9循环和1不一样的矛盾。但要说清各种表示方法的异同，需要用到高等数学中的极限，因此实际中一般不会去关心各种表示方法的。要证明0.9循环和1相等，可以这样证明：设0.9循环=a（这是一个实数，满足实数的运算规律），则10a=9.9循环=9+0.9循环=9+a，于是解方程得a=1。

0.9的循环等于1，所以不矛盾
0.9的循环=0.9+0.99+。。。
0.9，。099，。。。是一个无穷递缩等比数列，利用求和公式可知1
如果不要求严谨，那么
1/3=0.3的循环
0.9的循环=3×0.3的循环=1