因曲线向上凸，故y’’＜0，依题意有
?y″
(1+y′2)
即：y''=-（1+y'2）
曲线经过点（0，1），故y（0）=1，又因为该点处的切线方程为y=x+1，即切线斜率为1
所以y’（0）=1，问题转化为求一下方程特解
y″＝?(1+y′2) y(0)＝1，y′(0)＝1
令y'=p，y''=p'
p'=-（1+p2）
分离变量解得：
arctanp=C1-x
以p（0）=1代入，得到
C1＝arctan1＝
π 4
所以y’＝p＝tan(
?x)π 4
再积分，得
y＝∫tan(
?x)dx＝ln|cos(π 4
?x)|+C2π 4
把y（0）=1代入
C2＝1+
ln21 2
故所求曲线方程为
y＝ln|cos(
?x)|+1+π 4
ln2，x∈(?1 2
，π 4
)3π 4
取其含有x=0在内连续的一支为
y＝lncos(
?x)+1+π 4
ln21 2
当x→(?
)+或x→(π 4
)?时，3π 4
cos(
?x)→0，y→?∞π 4
故此函数无极小值
当x＝
时，y为极大值π 4
此时y＝1+
ln21 2
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