求02年到09年 全国初中数学竞赛决赛试题

2004年全国初中数学联赛试题及参考答案
（江西赛区加试题2004年4月24日上午8:30-11:00）

一. 选择题(本题满分42分,每小题7分)
1.直角三角形斜边长为整数,两条直角边长是方程9x2－3(k+1)x＋k＝0的两个根,则k2的值是…………………………( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)9
2.(8+3 )9 ＋ 值是……………………………………………( )
(A)奇数 (B)偶数 (C)有理数而不是整数 (D)无理数
3.边长分别是2、5、7的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立方体中，表面积最小的那个立方体的表面积是…………………………….（ ）
(A)410 (B)416 (C)394 (D)402
x+yz=1

4.设有三个实数x 、y、z满足： y+zz=1 则适合条件的解组（x、y、z）有（ ）

z+xy=1

(A)3组 (B) 5组 (C)7组 (D)9组
5.8a≥1, 则 的值是( )
(A)1 (B) 2 (C)8a (D)不能确定
6.方程 的整数解有( )
(A)1组 (B)3组 (C)6组 (D)无穷多组

二．填空题（本题满分28分,每小题7分）
1．函数y=x2－2（2k－1）x＋3k2－2k＋6的最小值为m。则当m达到最大时x＝
2．对于1，2，3，。。。，9作每二个不同的数的乘积，所有这些乘积的和是
3．如图，AB，CD是圆O的直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上一点，PE切圆O为E，BE交CD于F，AB=6cm,PE=4cm,则EF的长=
。

4．用6张1x2矩形纸片将3x4的方格表完全盖住，则不同的盖法有 种。
三。综合题
1。有二组数：A组1，2，。。。，100 B组12， 22 ，32 ，。。。，1002若对于A组中的X，在B组中存在一个数Y，使得X+Y也是B组中的数，则称X为关联数，求A中关联数的个数
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象和x轴，y轴都只有一个交点，分别为A，B。
AB=3 ,b+2ac=0,一次函数y=x+m的图象过A点，并和二次函数的图象交于另一点D。求△DAB的面积

3．等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，且BD=2CD，P是AD上的一点。
∠CPD=∠ABC，求证：BP⊥AD

答案：一CBDBAB
二 1。1 2。870 3。 4。11
三 1。73 2。9 3。（略）

2005年全国初中数学联赛初赛试卷
3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30

学校___________ 考生姓名___________
题 号 一 二 三 四 五 合 计
得 分
评卷人
复核人
一、选择题:（每小题7分，共计42分）
1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（ ）
（A）a＞b a2＞b2; (B)a≠b a2≠b2; (C)|a|＞b a2＞b2; (D)a＞|b| a2＞b2
2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（ ）
（A）0 (B) 3 (C) 22005 (D)3•22005
3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为 正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块。
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22
4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（ ）
（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1
5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（ ）
（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0
二、填空题: （每小题7分，共计28分）
1、已知：x为非零实数，且 = a, 则 =_____________。
2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC = _________.
4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如:3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__个。
三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标。
四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。
五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y=a+c－b ,z= b+c－a ,其中a、b、c是待定的质数，如果x2=y , =2,试求积abc的所有可能的值。

参考解答及评分标准
一、选择题（每小题7分，共计42分）
1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C
二、填空题 （每小题7分，共计28分）
1、 a2－2 2、 3、 45° 4、 12
三、解：∵原点是线段AB的中点 点A和点B关于原点对称
设点A的坐标为（a，b），则点B的坐标为（―a，―b）……5分
又 A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：
…………………………10分
解之得： a = 1 , b = 4 或者a = －1 ,b = －4…………………15分
故 A为（1，4），B为（-1，-4） 或者 A（-1，-4），B（1，4）.……20分
四、解：如图连结AD，则∠1=∠2=∠3=∠4
∴ΔCDE∽ΔCAD
∴ ① ………………5分
又∵ΔADE∽ΔBDA
∴ ② ………………10分
由①、②及AB=AC，可得AE=CD …………15分
又由ΔCDE∽ΔCAD可得 ，即AE2=CD2=CE•CA …………20分
设AE=x，则CE=d－x ，于是 x2=d(d－x)
即有AE = x = （负值已舍去） ……………………25分
五、解：∵a+b－c=x, a+c－b=y, b+c－a =z ,
∴a= , b= , c= …………………5分
又∵ y=x2 ,
故 a= ---(1);
b= -----(2)
c= ----(3)
∴x= ---------------(4)
∵x是整数，得1+8a=T2，其中T是正奇数。 ………………10分
于是，2a= ，其中a是质数，故有 =2, =a
∴T=5,a=3 ……………………15分
将a=3代入（4） 得 x=2或－3.
当x=2时，y=x2=4,
因而 －2=2， z=16 ，
代入（2）、（3）可得b=9 ，c=10，
与b、c是质数矛盾，当舍去。 ……………………20分
当x=－3时，y=9 . －3=2,
∴z=25
代入（2）、（3）可得 b=11，c=17
∴abc=3×11×17=561 ……………………………25分

2006年全国初中数学联赛
第一试
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH的面积和周长．设 ．则下面关于 的说法中，正确的是( )．
(A) 均为常值 (B) 为常值， 不为常值
(C) 不为常值， 为常值 (D) 均不为常值
2．已知 为实数，且 是关于 的方程 的两根．则 的值为( )．
(A) (B) (C) (D)1
3．关于 的方程 仅有两个不同的实根．则实数 的取值范围是( )．
(A)a＞0 (B)a≥4 (C)2＜a＜4 (D)0＜a＜4
4．设 则实数 的大小关系是( )．
(A) (B) (C) (D)
5． 为有理数，且满足等式 ,则 的值为( )．
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为( )．
(A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012
二、填空题(每小题7分，共28分)
1．函数 的图像与 轴交点的横坐标之和等于 ．
2．在等腰 中，AC=BC=1，M是BC的中点，CE⊥AM于点E，交AB于点F，则S△MBF= 。
3．使 取最小值的实数 的值为 ．
4．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足 。
就称格点P为“好点”．则正方形OABC内部好点的个数为 ．
注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．
第二试
A卷
一、(20分)已知关于 的一元二次方程 无相异两实根．则满足条件的有序正整数组 有多少组?
二、(25分)如图l，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF=90°．ED=DF=1，AD=5．求线段BC的长．

三、(25分)如图2，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．求证：
(1)O、E、O1三点共线；
(2)
B卷
一、(20分)同A卷第一题．
二、(25分)同A卷第二题．
三、(25分)如图2，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．
(1)求证：O、E、01三点共线；
(2)若 求 的度数．
C卷
一、(20分)同A卷第二题．
二、(25分)同B卷第三题．
三、(25分)设 为正整数，且 ．在平面直角坐标系中，点 和点 的连线段通过 个格点 ．证明：
(1)若 为质数，则在原点O(0，0)与点 的连线段 上除端点外无其他格点；
(2)若在原点O(0，0)与点 的连线段 上除端点外无其他格点，则p为质数．

2007年全国初中数学联赛
武汉CASIO杯选拔赛试题及参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
1、 已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（－2，0），则不等式ax>b的解集为（ ）
（A）x>－2 （B）x<－2 （C）x>2 （D）x<2
解：∵a>0,b=2a, ∴ax>b的解集为x>2. 选（C）
2、已知 ，则下列结论正确的是（ ）
（A）a>b>c （B）c>b>a （C）b>a>c （D）b>c>a
解：∵ ，∴a>b>c 选（A）
3、父母的血型与子女的可能血型之间有如下关系
父母的
血型 O,O O,A O,B O,AB A,A A,B A,AB B,B B,AB AB,AB
子女的可
能血型 O O,A O,B A,B A,O A,B,
AB,O A,B,
AB B,O A,B,
AB A,B,
AB
已知：（1）麦恩的父母与麦恩的血型各不相同；（2）麦恩的血型不是B型，那么麦恩的血型是（ ）
（A）A型 （B）AB型或O型 （C）AB型 （D）A型或O型或AB型
解：选（D）
4、四条直线两两相交，且任意三条不交于同一点，则这四条直线共可构成的同位角有（ ）
（A）24组 （B）48组 （C）12组 （D）16组
解：四条直线共可构成四组不同的三条直线组，而每一三条直线组共可构成12对同位角，故共有4×12＝48组同位角。 选（B）
5、已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差 ，则关于数据 ，的说法：（1）方差为 ；（2）平均数为2；（3）平均数为4；（4）方差为4 ，其中正确的说法是（ ）
（A）（1）与（2） （B）（1）与（3） （C）（2）与（4） （D）（3）与（4）
解： ，∴ （3）正确

（1）正确 故选（B）
6、已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且 ，如果b＝7，则这样的三角形共有（ ）
（A）21个 （B）28个 （C）49个 （D）54个
解：当a=2时，有1个；当a=3时，有2个；当a=4时，有3个；当a=5时，
有4个；当a=6时，有5个；当a=7时,有6个，共有21个 故选（A）
7、如图，直线l ：y=x+1与直线 ： 把平面
直角坐标系分成四个部分，点 在（ ）
（A）第一部分 （B）第二部分
（C）第三部分 （D）第四部分
解：选（C）
8、已知实数a满足 ，那么 的值是（ ）
（A）2005（B）2006（C）2007（D）2008
解∵a≥2007,∴ ,∴ ,∴ =2007,
故选（C）
9、设分式 不是最简分数，那么正整数n的最小值可能是（ ）
（A）84 （B）68 （C）45 （D）115
解：设d是（n-13）与5n+6的一个公约数，则d｜(n-13),d｜(5n+6),∴d｜ ,∴d｜71,∵71是质数，∴d=71,∵d｜(n-13),∴n-13≥71,∴n≥84,n的最小值是84，选（A）
10、如图，P是△ABC内一点，BP，CP，AP的延长线分别与
AC，AB，BC交于点E，F，D。考虑下列三个等式：
（1） ； （2） ；
（3） 。其中正确的有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
解： （1）正确
（2）正确
（3）正确 故选（D）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11、已知对所有的实数x, 恒成立，
则m可取得的最大值为_______
解：当－1≤x≤2时， 的最小值为3，∵ ≥0，
∴当x=1时， 的最小值为3，∴3≥m,m的最大值为3。

12、《射雕英雄传》中，英姑对黄蓉说：“你算法自然精我百倍，
可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角， 每
三个字相加都是十五，如何排列？”黄蓉当下低声诵道：“九宫之意，
法以灵兔，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。…”
请按黄蓉所述将一至九这九个数填入右边的“宫”中
4 9 2
3 5 7
8 1 6
解
13、军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为 ，七进位制表示为 ，那么苹果的总数用十进位制表示为______________
解：220 ∵1≤a≤6,1≤b≤6,1≤c≤6, ,
63a+b-48c=0,b=3(16c-21a),∴b=0,3,6,经检验b=3符合题意，
∴b=3,c=4,a=3,
14、一个七边形棋盘如图所示,7个顶点顺序从0到6
编号,称为七个格子,一枚棋子放在0格,现在依逆时针
移动这枚棋子,第一次移动1格,第二次移动2格,…,
第n次移动n格，则不停留棋子的格子的编号有_________
解：2，4，5
尝试发现：（1）从不停留棋子的格子为2，4，5；
（2）棋子停留的格子号码每移动7次循环（即第k次与第(k+7)次停留同一格）。
证明：第k次移动棋子，移动的格子数为：1＋2＋3＋…＋k,第(k+7)次移动棋子，移动格子数为： 1＋2＋3＋…＋k+(k+1)+…+(k+7)
〔1＋2＋3＋…＋k+(k+1)+…+(k+7)〕-(1＋2＋3＋…＋k)=7k+28=7(k+4)
故第（k+7）次与第k次移动棋子停留格子相同。

三、解答题（本大题共2小题，每小题25分，共50分）
15、有40组CASIO卡片，每组均由C，A，S，I,O五张卡片按C,A,S,I,O顺序由上而下叠放而成，现将这40组卡片由上至下叠放在一起，然后把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三章丢掉，把第四张放在最底层，…，如此继续下去，直至最后只剩下一张卡片。
（1）在上述操作过程中，当只剩88张卡片时，一共丢掉了多少张卡片S？
（2）最后一张卡片是哪一组的哪一张卡片？
解：（1）40组CASIO卡片共计200张，将200张卡片由上至下依次编号为：1，2，3，…，200，由操作法则知，当丢掉100张卡片时剩下卡片编号为2，4，6，…，200，若再丢掉12张卡片，涉及的卡片有24张，编号为2，4，6，…，48，丢掉12的卡片为2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46，其中被丢掉的卡片S有两张（编号为18，38）。丢掉100张卡片时，有20张卡片S，所以当只剩88张卡片时，以供丢掉了22张卡片S。
（2）若只有128张卡片（ ），则最后一张被丢掉的是编号为128的卡片。∵128＜200＜256，当丢掉72张卡片时，涉及卡片共144张，在剩下的128张卡片中，最后一张的编号为144。144＝5×28＋4，∴最后一张卡片为第29组的第四张卡片I。

16、如图△ABC，D是△ABC内一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线
求证：AB=CD。
证明：取BC中点T，AF的中点S，连GT，HT，HS，SM。
∵G,H,M分别为BD，AC,EF的中点
∴MS‖AE， ，HS‖CF， ，
∴HS=SM，∴∠SHM＝∠SMH
∵GT‖CD，HT‖AB，
∴GT‖HS，HT‖SM
∴∠SHM＝∠TGH，∠SMH＝∠THG
∴∠TGH＝∠THG
∴GT＝TH
∴AB=CD
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试
一、选择题1．设 ， ，且 ，则代数式 的值为 （ B ）
5. 7. 9. 11.
提示： 是方程 两个不同根，故 .
2．如图，设 ， ， 为三角形 的三条高，若 ， ， ，则线段 的长为 （ D ）
. 4. . .
提示： ，可得 ，故 中由勾股定理得
3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ C ）
. . . .
提示：卡片一共有20种取法，其中 ，满足条件的有 种.
4．在△ 中， ， ， 和 分别是这两个角的外角平分线，且点 分别在直线 和直线 上，则 （ B ）
. .
. 和 的大小关系不确定.
提示： 都是等腰三角形.
5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为 ，则 的最小值为（ B ）
. . . .
提示：将价格从高到低排列，相邻价格之间的比值至少是
6． 已知实数 满足 ，则
的值为 （ D ）
. 2008. . 1.
提示： ，同理
，故 .
二、填空题1．设 ，则 _________.-2
提示：
2．如图，正方形 的边长为1， 为 所在直线上的两点，且 ， ，则四边形 的面积为___________.
提示：
3．已知二次函数 的图象与 轴的两个交点的横坐标分别为 ， ，且 .设满足上述要求的 的最大值和最小值分别为 ， ，则 __________.
提示： 满足条件.
4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是___________.1
提示：平方数为一位数的有3个，平方数为两位数的有6个，依此类推.
第二试（A）
一、已知 ，对于满足条件 的一切实数 ，不等式
恒成立.当乘积 取最小值时，求 的值.
解：设 ，则

= =
当 时， ，当 时， ，故 .
若 ，则 ， ，不恒大于等于0，故 即 ，同理 .
当 时，
（1） 当 ，即 时，
，故 ，即 .
（2） 当 ，即 时，

综上所述， 最小值是 ，此时 或 .
二、如图，圆 与圆 相交于 两点， 为圆 的切线，点 在圆 上，且 .
（1）证明：点 在圆 的圆周上.
（2）设△ 的面积为 ，求圆 的的半径 的最小值.
解：(1)连接 ，则 ，又 ，故等腰
， .由于 为圆 的切线，
故弦切角 所夹劣弧长为 所夹劣弧长的2倍，即半径 所在直径通过弧 的中点，即点 在圆 上.
（2）连接 ，则 ，故 ，又 ，故 ，即 ，且当 为圆 的直径时可以取等号，故 的最小值是 .
三、设 为质数， 为正整数，且 求 ， 的值.
解：将原等式整理为关于 的一元二次方程：
，由于 为正整数，则方程判别式 是完全平方数，即 为完全平方数，设 ，则
，即 ，由于 ，故 同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除.
当 时，检验得 不是完全平方数
当 时，检验得 不是完全平方数
当 时，由上面分析可知 共4种分解方式可能满足条件.
当 时， 不是整数，当 时， 不是整数，
当 或 时， 不是质数，
当 时， 是质数，此时只有 满足条件，
综上所述， ， .
附：一。（B、C卷）已知 ，对于满足条件 的一切实数对 ，不等式 恒成立.当乘积 取最小值时，求 的值.
三．（C卷）设 为质数， 为正整数，且满足
，求 的值.

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设 ，则 （ ）
A.24. B. 25. C. . D. .

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ ）
A. . B. . C. . D. .

3．用 表示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为 （ ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）
A. . B. . C. . D. .

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝ （ D ）
A. . B. . C. . D. .

6．设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是 （ ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是____________.
2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的面积为______.
3．如果实数 满足条件 ， ，则 ______.
4．已知 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有_____对.
第一试答案： ACCBDB；－3， ，－1，－7
第二试 （A）
一．（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值.
解: （1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， .
设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则 .
因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).
（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点 的坐标为 ，
即 .
又 ，所以
，解得 .
二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高， 、 分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求 .
解 作 E⊥AB于E， F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4， .
又CD⊥AB，由射影定理可得 ，故 ，
.
因为 E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以 ＝ .
连接D 、D ，则D 、D 分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°，故∠ D ＝90°，所以 D⊥ D， .
同理，可求得 ， . 所以 ＝ .
三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以 为三边长可构成一个直角三角形.
证法1 将①②两式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形.
证法2 结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .

，
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形.

第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF‖AB.
解 因为BN是∠ABC的平分线，所以 .
又因为CH⊥AB，所以
，
因此 .
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四点共圆.
又 ，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.
同理可证，点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF‖AB.

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：
①
②
是否存在以 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.
解法1 将①②两式相乘，得 ，
即 所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
解法2 结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .
，
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.

大哥！！！我真的尽力了！

中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b 满足 ，则 等于（ ）．
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为 ，于是 ，从而 ＝1．
2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）．
（A） （B） （C）1 （D）2
【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以 ，即
，
所以， ．
由 ，解得 ．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次，记第一次掷出的点数为 ，第二次掷出的点数为 ，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
【答】D．
解：当 时，方程组无解．
当 时，方程组的解为
由已知，得 即 或
由 ， 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10种情况；或 共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为 ．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖DC， . 动点P从点
B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10 （B）16 （C）18 （D）32

【答】B．
解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．关于x，y的方程 的整数解（x，y）的组数为（ ）．
（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组
【答】C．
解：可将原方程视为关于 的二次方程，将其变形为
．
由于该方程有整数根，则判别式 ≥ ，且是完全平方数．
由 ≥ ，
解得 ≤ ．于是

0 1 4 9 16

116 109 88 53 4
显然，只有 时， 是完全平方数，符合要求．
当 时，原方程为 ，此时 ；
当y＝－4时，原方程为 ，此时 ．
所以，原方程的整数解为

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

两式相加，得 ，
则 ．
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则 的值为 ．
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．
由题设知 ， ，在△FHA和△EFA中，
，
所以 Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
而 ，所以 .
8．已知 是满足条件 的五个不同的整数，若 是关于x的方程 的整数根，则 的值为 ．
【答】 10．
解：因为 ，且 是五个不同的整数，所有 也是五个不同的整数．
又因为 ，所以
．
由 ，可得 ．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为 的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
【答】 ．
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且 ．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
【答】 ．
解：设报3的人心里想的数是 ，则报5的人心里想的数应是 ．
于是报7的人心里想的数是 ，报9的人心里想的数是 ，报1的人心里想的数是 ，报3的人心里想的数是 ．所以
，
解得 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线 与动直线 有公共点 ， ，
且 .
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.
解：（1）联立 与 ，消去y得二次方程
①
有实数根 ， ，则 ．所以

= ＝ ． ②
………………5分
把②式代入方程①得
． ③
………………10分
t的取值应满足
≥0， ④
且使方程③有实数根，即
＝ ≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1，解不等式⑤得 ≤ ≤ .
所以，t的取值范围为
≤ ≤ . ⑥
………………15分
(2) 由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 时是递增的，所以，当
时, . ………………20分
12．已知正整数 满足 ，且 ，求满足条件的所有可能的正整数 的和．
解：由 可得 ． ，且
．
………………5分
因为 是奇数，所以 等价于 ，又因为 ，所以 等价于 ．因此有 ，于是可得 ．
………………15分
又 ，所以 ．因此，满足条件的所有可能的正整数 的和为
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分
13．如图，给定锐角三角形ABC， ，AD，BE是它的两条高，过点 作△ABC的外接圆的切线 ，过点D，E分别作 的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是 ．下面给出证明． ………………5分
因为 ，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得 ．
………………10分
又因为 ，所以有 ，于是可得
． ………………20分
解法2：结论是 ．下面给出证明．
……………… 5分
连接DE，因为 ，所以A，B，D，E四点共圆，故
． ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n个正整数 满足如下条件： ；
且 中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设 中去掉 后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数 ， ．即 ．
于是，对于任意的1≤ ≤n，都有
，
从而 ． ………………5分
由于 是正整数，故
． ………………10分
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
结合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ………………20分

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