与单位解除劳动合同的社保卡还是不变的，只是单位给予社保的停交，你可以继续在该社保卡上继续缴纳社保，或者到新的单位给你继续缴纳社保，就可。
可以的。社保卡发卡的是银行。社保资料登记是在社保机构。详情请拨打当地社保局客服咨询
