根号下(1-x⼀1+x)的原函数怎么求

根号下(1-x/1+x)的原函数：arcsinx+√（1-x²）+c。c为积分常数。

求√(1-x/1+x)的原函数就是对√(1-x/1+x)不定积分。

解答过程如下：

扩展资料：

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

求解过程如下：

令x=sin²t，那么dx=d(sin²t)=2sintcostdt，√(x/(1-x)=√(sin²t/cos²t)=sint/cost。

所以：

原式=∫(sint/cost)*2sintcostdt

=∫2sin²tdt

=∫(1-cos2t)dt

=t-1/2*sin2t+C

而sint=√x，所以t=arcsin√x，sin2t=2sintcost=2√x*√(1-x)=2√(x-x²)

所以原式=arcsin√x-√(x-x²)+C。

扩展资料：

1、原函数存在定理：

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

2、原函数几何意义：

设f(x)在[a,b]上连续，则由 曲线y=f(x)，x轴及直线x=a，x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号，下方取负号)是f(x)的一个原函数。若x为时间变量，f(x)为直线运动的物体的速度函数，则f(x)的原函数就是路程函数。

参考资料来源：百度百科-原函数

sqrt(1+x^2)=y （sqrt(x) 代表根号x）

首先,这个原函数是多对一函数,其强行求反函数会导致一对多.

但是如果忽略一个函数存在反函数的一个条件：一一对应，那么还是可以求出来的。

①确定原函数定义域和值域

先求1+x^2的范围,是[1,+∞]

故sqrt(1+x^2)的范围是[sqrt(1),sqrt(+∞))=[1,+∞]

x的范围是R.

②x,y互换，并提出y

sqrt(1+y^2)=x

两边平方,得 1+y^2=x^2

y=±sqrt(x^2-1)

此时不确定是正还是负，还是都可以

这时候看原函数的定义域（原函数的定义域就是反函数的值域）

原函数定义域为R,故±都可以取.

y=±sqrt(x^2-1)

此时观察x^2-1要满足>=0
=>x^2>=1
=>x>=1 or x<=-1

把这个解和原函数的值域取交集,得到x∈[1,+∞]

整理后：
y=±sqrt(x^2-1)
x∈[1,+∞]

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通法总结：

目的：已知一个函数，求其反函数。

①求定义域、值域

②x换成y,y换成x，若存在不确定正负号的，保留正负号

③提取出y放一边

④求出x的自然定义域,并与原函数的值域取交集，得到x的真实定义域

⑤通过原函数定义域来判断出现了正负号选择的时候，是正还是负还是全保留

总之，验证结果一定要满足：原函数和反函数 域严格对等互换

√(1+x)的原函数为2/3*(1+x)^(3/2)+C。具体解答过程如下。

解：令f(x)=√(1+x)，F(x)为f(x)的原函数。

那么F(x)=∫√(1+x)dx

=∫√(1+x)d(1+x)

=2/3*(1+x)^(3/2)+C

即f(x)=√(1+x)的原函数为F(x)=2/3*(1+x)^(3/2)+C。

扩展资料：

1、不定积分的性质

（1）函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即，

∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

（2）求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即，

∫k*f(x)dx=k∫f(x)dx

2、不定积分的公式

∫1/(x^2)dx=-1/x+C、∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C

参考资料来源：百度百科-不定积分

令x=tan(t),t∈(-pi/2,pi/2),则根号(1+x^2)=sec(t),
∫根号(1+x^2)dx
=∫sec(t)d(tan(t))-----(令此积分为I)
=tan(t)sec(t)-∫tan(t)d(sec(t))
=tan(t)sec(t)-∫tan(t)^2.sec(t)dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)[sec(t)^2-1]dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+∫sec(t)dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+ln[sec(t)+tan(t)]
=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]-I

所以2I=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]+C
I={tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]}/2+C
={x根号(1+x^2)+ln[根号(1+x^2)+x]}/2+C
不定积分I即为所求原函数.